Contoh soal aturan rantai dan pembahasannya.
sumber: freepik.com

Aturan Rantai Turunan Fungsi

Posted on 10,371 views

Edumatik.Net – Aturan rantai adalah suatu aturan yang digunakan untuk menyelesaikan turunan fungsi komposisi. Aturan rantai merupakan salah satu aturan turunan fungsi aljabar, dimana aturan lainnya sudah kita bahas di tulisan sebelumnya.

Materi aturan rantai ini akan lebih mudah dipahami jika kita menggunakan notasi turunan lainnya, yaitu notasi dari Leibniz. Notasinya adalah \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) sebagai pengganti dari \(f'(x)\).

Sebelum ke contoh turunan aturan rantai ada baiknya kita pahami dulu soal dibawah ini, sebagai pemanasan aja sebelum memahami materi aturan rantai.

Tentukanlah turunan dari \(f(x) = \left( 4x^{2} – 3x \right)^{2}\)

Menjawab soal diatas tentu saja masih mudah, kita bisa menguraikan dulu kedalam bentuk yang sederhana.

\(\begin{aligned} f(x) &= \left( 4x^{2} – 3x \right)^{2} \\
&= \left( 4x^{2} – 3x \right) \left( 4x^{2} – 3x \right) \end{aligned}\)

Dari situ kita punya dua pilihan cara saat menyelesaikannya, bisa menggunakan Aturan Hasil Kali atau dikali pelangi setelah itu diturunkan. Kita gunakan dulu cara dikali pelangi karena lebih mudah (mudah hanya untuk pangkat dua hahaha).

\(\begin{aligned} f(x) &= \left( 4x^{2} – 3x \right) \left( 4x^{2} – 3x \right) \\
&= 16x^{4} -12x^{3} -12x^{3} + 9x^{2} \\
&= 16x^{4} – 24x^{3} + 9x^{2} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= 4.16x^{4-1} – 3. 24x^{3-1} + 2.9x^{2-1} \\
&= 64x^{3} – 72x^{2} + 18x \end{aligned}\)

Nah sekarang gimana kalau pangkatnya besar?

Tentukanlah turunan dari \(f(x) = \left( 4x^{2} – 3x \right)^{10}\)

Saat seperti inilah aturan rantai digunakan, apa itu aturan rantai? Berukut ini adalah definisi aturan rantai.

Definisi Aturan Rantai
Andaikan \(y=f(u)\) dan \(u=g(x)\) menetukan fungsi komposit \(y = f(g(x)) = (f o g) (x)\). Jika \(g\) terdiferensialkan di \(x\) dan \(f\) terdiferensialkan di \(u = g(x)\), maka \(f o g\) terdiferensialkan di \(x\) dan \((fog)’ (x) = f'(g(x)).g'(x)\) yakni \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx}\)

Soal turunan aturan rantai di atas akan kita jawab dengan menggunakan definisi aturan rantai barusan.

Kamu masih ingatkan bahwa \(f(x)\) itu sama dengan \(y\), akan lebih mudah memahami aturan rantai kalau kita menggunakan \(y\) (menurut saya sih hehe).

\(f(x) = \left( 4x^{2} – 3x \right)^{10}\)

\(y = \left( 4x^{2} – 3x \right)^{10}\)

Dicari \(y’\) atau \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) (turunan \(y\) terhadap \(x\))

Langkah 1: Misalkan \(u = 4x^{2} – 3x\), maka \(y = (u)^{10}\)

Langkah 2: Cari turunan \(y\) terhadap \(u\)

\(y = u^{10}\)

\(\begin{aligned} \frac{dy}{du} &= 10.u^{10-1} \\
&= 10u^{9} \end{aligned}\)

Langkah 3: Cari turunan \(u\) terhadap \(x\)

\(u = 4x^{2} – 3x\)

\(\begin{aligned} \frac{du}{dx} &= 2.4x^{2-1} – 1.3x^{1-1} \\
&= 8x^{1} – 3x^{0} \\
&= 8x – 3(1) \\
&= 8x – 3 \end{aligned}\)

Langkah 4: Cari turunan \(y\) terhadap \(x\)

\(\begin{aligned} \displaystyle \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx} \\
&= (10u^{9}).(8x – 3) \\
&= (10(4x^{2} – 3x)^{9}).(8x – 3) \\
&= 10(4x^{2} – 3x)^{9}.(8x – 3) \\
&= (4x^{2} – 3x)^{9}.(80x – 30) \end{aligned}\)

Gimana, paham?
Itulah tadi salah satu contoh soal aturan rantai turunan fungsi, coba baca secara perlahan aja kalau kamu masih belum paham.

Biar lebih paham kita akan bahas beberapa contoh lagi, berikut ini adalah contoh soal aturan rantai dan pembahasannya.

1). Tentukanlah turunan dari \(y = \left( 2x^{2} – 3x + 4 \right)^{20}\)

Jawab

Misalkan \(u = 2x^{2} – 3x + 4\), maka \(y= u^{20}\)

\(y= u^{20}\) maka \(\displaystyle \frac{dy}{du} = 20u^{19}\)

\(u = 2x^{2} – 3x + 4\) maka \(\displaystyle \frac{du}{dx} = 4x – 3\)

\(\begin{aligned} \displaystyle \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx} \\
&= 20u^{19} . (4x – 3) \\
&= 20(2x^{2} – 3x + 4)^{19} . (4x – 3) \end{aligned}\)

Jika \(20\) mau dikalikan dengan \((4x – 3)\) boleh-boleh aja, tapi secara umum cukup sampai disitu aja.

2). Tentukan turunan dari \(f(x) = \sqrt{2x^{3}-1}\)

Jawab

\(f(x) = \sqrt{2x^{3}-1}\)

\(y = \sqrt{2x^{3}-1}\)

\(y = \left( 2x^{3}-1 \right)^{\frac{1}{2}}\)

Misalkan \(u = 2x^{3}-1\), maka \(y = \left( u \right)^{\frac{1}{2}}\)

\(y = \left( u \right)^{\frac{1}{2}}\), maka \(\displaystyle \frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{- \frac{1}{2}}\)

\(u = 2x^{3}-1\), maka \(\displaystyle \frac{du}{dx} = 6x^{2}\)

\(\begin{aligned} \displaystyle \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx} \\
&= \displaystyle \frac{1}{2}u^{- \frac{1}{2}} . 6x^{2} \\
&= \displaystyle \frac{1}{2}(2x^{3}-1)^{- \frac{1}{2}} . 6x^{2} \\
&= \displaystyle 3x^{2}(2x^{3}-1)^{- \frac{1}{2}} \\
&= \displaystyle \frac{3x^{2}}{(2x^{3}-1)^{\frac{1}{2}}} \\
&= \displaystyle \frac{3x^{2}}{\sqrt{2x^{3}-1}} \end{aligned}\)

3). Tentukan turunan dari \(y = \left( 3x^{2} \right)^{\frac{5}{4}}\)

Jawab

Misalkan Misalkan \(u = 3x^{2}\), maka \(y = \left( u \right)^{\frac{5}{4}}\)

\(y = \left( u \right)^{\frac{5}{4}}\), maka \(\displaystyle \frac{dy}{du} = \frac{5}{4}u^{\frac{1}{4}}\)

\(u = 3x^{2}\), maka \(\displaystyle \frac{du}{dx} = 6x\)

\(\begin{aligned} \displaystyle \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx} \\
&= \displaystyle \frac{5}{4}u^{\frac{1}{4}} . 6x \\
&= \displaystyle \frac{5}{4}(3x^{2})^{\frac{1}{4}} . 6x \\
&= \displaystyle \frac{30}{4} x (3x^{2})^{\frac{1}{4}} \end{aligned}\)

Diatas kita sudah bahas definisi aturan rantai dan juga contoh soal aturan rantai, jadi pembahasan ini kita cukupkan dulu yaa. Berikutnya kita akan belajar materi kemonotonan sebuah fungsi, jangan lupa bagikan tulisan ini yaa.

2 thoughts on “Aturan Rantai Turunan Fungsi

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *