Sifat-sifat turunan fungsi aljabar dan contoh soal.
sumber: freepik.com

Aturan Turunan dan Contoh Soal

Posted on 2,681 views

Edumatik.Net – Sifat-sifat turunan fungsi aljabar atau bisa disebut juga dengan aturan turunan fungsi aljabar merupakan beberapa aturan yang sangat penting dan mendasar yang harus dipahami dan diingat ketika mempelajari materi turunan fungsi.

Contoh sifat-sifat turunan fungsi aljabar tentu saja akan dibahas juga di tulisan ini, jadi melalui tulisan ini kamu bukan hanya mendapatkan sifat-sifat turunan melainkan lengkap dengan contoh soalnya.

Dengan adanya contoh soal aturan turunan ini pastinya akan membuat kamu semakin mudah untuk memahami aturan-aturan turunan. Pada tulisan ini ada 8 aturan turunan fungsi aljabar yang akan kita bahas, berikut ini adalah pembahasannya.

1. Aturan Fungsi Konstanta

Jika \(f(x)=k\) dengan \(k\) suatu konstanta, maka \(f'(x)=0\)

$$f(x)=k \to f'(x)=0$$

Contoh:

Tentukan turunan dari \(f(x)= 4\)

Jawab

\(f(x)= 4\)

\(f'(x)= 0\)

Berapapun angkanya baik positif maupun negatif, bilangan pecahan maupun maupun bulat, selama dia konstanta maka turunanya akan \(0\) (nol).

2. Aturan Fungsi Identitas

Jika \(f(x) = x\), maka \(f'(x) = 1\)

$$f(x) = x \rightarrow f'(x) = 1$$

Contoh:

Tentukan turunan dari \(f(x)= x\)

Jawab

\(f(x)= x\)

\(f'(x)= 1\)

3. Aturan Pangkat

Jika \(f(x) = x^{n}\), maka \(f'(x) = nx^{n-1}\)

$$f(x) = x^{n} \to f'(x) = nx^{n-1}$$

Contoh:

Tentukan turunan dari \(f(x)= x^{5}\)

Jawab

\(f(x)= x^{5}\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= nx^{n-1} \\ &= 5x^{5-1} \\
&= 5x^{4} \end{aligned}\)

4. Aturan Kelipatan Konstanta

Jika \(f(x) = a.u(x)\) dengan \(a\) suatu konstanta dan \(u\) suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka \(f'(x) = a.u'(x)\)

$$f(x) = a.u(x) \to f'(x) = a.u'(x)$$

Contoh:

Tentukan turunan dari \(f(x)= 4x^{3}\)

Jawab

\(f(x)= 4x^{3}\)

\(a=4\) dan \(u(x)= x^{3}\), untuk mencari \(u'(x)\) kita gunakan “Aturan Pangkat”

\(\begin{aligned} u'(x) &= nx^{n-1} \\
&= 3 x^{3-1} \\
&= 3 x^{2} \end{aligned}\)

Jadi

\(\begin{aligned} f'(x) &= a.u'(x) \\
&= 4.3 x^{2} \\
&= 12x^{2} \end{aligned}\)

Aturan Pangkat dan Aturan Kelipatan Konstanta dapat kita gabungkan menjadi rumus cepat turunan fungsi aljabar, rumus ini juga sudah di berikan polanya pada tulisan sebelumnya yaitu definisi turunan fungsi aljabar.

Rumus cepat ini harus kamu ingat, agar kamu bisa lebih cepat lagi saat menyelesaikan turunan fungsi aljabar. Adapun rumus cepat turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut:

Kita coba selesaikan soal diatas dengan menggunakan rumus cepat.

\(f(x)= 4x^{3}\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= n.ax^{n-1} \\
&= 3.4x^{3-1} \\
&= 12x^{2} \end{aligned}\)

5. Aturan Jumlah

Jika \(f(x) = u(x) + v(x)\) dengan \(f, u,\) dan \(v\) adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka \(f'(x) = u'(x) + v'(x)\)

$$f(x) = u(x) + v(x)$$

$$f'(x) = u'(x) + v'(x)$$

Contoh:

Tentukan turunan dari \(f(x) = 2x^{3} + x^{6}\)

Jawab

Nah biar cepat, untuk menjawabnya kita gunakan aja rumus cepatnya.

\(f(x) = 2x^{3} + x^{7}\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= 3.2x^{3-1} + 7. x^{7-1} \\
&= 6x^{2} + 7x^{6} \end{aligned}\)

6. Aturan Selisih

Jika \(f(x) = u(x) – v(x)\) dengan \(f, u,\) dan \(v\) adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka \(f'(x) = u'(x) – v'(x)\)

$$f(x) = u(x) – v(x)$$

$$f'(x) = u'(x) – v'(x)$$

Contoh:

Tentukan turunan dari \(f(x) = 3x^{5} – 2x^{2}\)

Jawab

\(f(x) = 3x^{5} – 2x^{2}\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= 5.3x^{5-1} – 2. 2x^{2-1} \\
&= 15x^{4} – 4x \end{aligned}\)

7. Aturan Hasil Kali

Jika \(f(x) = u(x) . v(x)\) dengan \(f, u,\) dan \(v\) adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka \(f'(x) = u'(x) v(x)+ u(x) v'(x)\)

$$f(x) = u(x) . v(x)$$

$$f'(x) = u'(x) v(x)+ u(x) v'(x)$$

Contoh 1

Tentukan turunan dari \(f(x) = 2x^{5} \times 3x^{2}\)

Jawab

Cara Satu

\(u(x) = 2x^{5} \to u'(x) = 10x^{4}\)

\(v(x) = 3x^{2} \to v'(x) = 6x\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= u'(x) v(x)+ u(x) v'(x) \\
&= \left(10x^{4} . 3x^{2} \right) + \left( 2x^{5} . 6x \right) \\
&= \left( 30x^{4+2} \right) + \left( 12x^{5+1} \right) \\
&= 30x^{6} + 12x^{6} \\
&= 42x^{6} \end{aligned}\)

Note: penjumlahan pangkat barusan menggunakan sifat-sifat eksponen, begitupun dengan Cara Dua dibawah ini.

Cara Dua

\(\begin{aligned} f(x) &= 2x^{5} \times 3x^{2} \\
&= 2.3 x^{5+2} \\
&=6x^{7} \end{aligned}\)

Jadi

\(\begin{aligned} f'(x) &= n.ax^{n-1} \\
&= 7.6x^{7-1} \\
&= 42x^{6} \end{aligned}\)

Baik cara satu maupun cara dua hasilnya akan tetap sama, selama proses penyelesainnya benar. Biar makin paham mengenai contoh soal turunan perkalian simaklah pembahasan berikut:

Contoh 2

Tentukanlah turunan dari fungsi \(f(x) = (x^{2} + 2) \times (3x – x^{3})\)

Cara Satu

\(u(x) = x^{2} + 2 \to u'(x) = 2x\)

\(v(x) = 3x – x^{3} \to v'(x) = 3-3x^{2}\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= u'(x) v(x)+ u(x) v'(x) \\
&= \left( 2x . (3x – x^{3}) \right) + \left((x^{2} + 2) . (3-3x^{2}) \right) \\
&= \left( 6x^{2} – 2x^{4} \right) + \left(-3x^{4} -3x^{2} + 6\right) \\
&= 6x^{2} – 2x^{4} -3x^{4} -3x^{2} + 6 \\
&= 3x^{2} – 5x^{4} + 6 \end{aligned}\)

Cara Dua

Kita kali pelangikan dulu masing-masing fungsinya

\(\begin{aligned} f(x) &= (x^{2} + 2) \times (3x – x^{3}) \\
&= x^{3} – x^{5} +6x \end{aligned}\)

Kita gunakan rumus cepat untuk menjawab ini.

\(\begin{aligned} f'(x) &= 3x^{3-1} – 5x^{5-1} +6x^{1-1} \\
&= 3x^{2} – 5x^{4} +6x^{0} \\
&= 3x^{2} – 5x^{4} +6(1) \\
&= 3x^{2} – 5x^{4} +6 \end{aligned}\)

8. Aturan Hasil Bagi

Jika \(\displaystyle f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) dengan \(f, u,\) dan \(v\) adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, serta \(v(x) \neq 0\) maka \(\displaystyle f'(x) = \frac{u'(x) v(x) – u(x) v'(x)}{v^{2}(x)}\)

$$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$$

$$f'(x) = \frac{u'(x) v(x) – u(x) v'(x)}{v^{2}(x)}$$

Contoh:

Tentukan turunan dari \(\displaystyle \frac{-3x^{3}+5}{2x}\)

Jawab

\(u(x) = -3x^{3}+5 \to u'(x) = -9x^{2}\)

\(v(x) = 2x \to v'(x) = 2\)

\(\begin{aligned} \displaystyle f'(x) &= \frac{u'(x) v(x) – u(x) v'(x)}{v^{2}(x)} \\
&= \displaystyle \frac{ \left(-9x^{2} . 2x \right) – \left( (-3x^{3} + 5). 2 \right) }{\left( 2x \right)^{2}} \\
&= \displaystyle \frac{ \left(-18x^{3}\right) – \left( -6x^{3} + 10\right)}{4x^{2}} \\
&= \displaystyle \frac{-18x^{3} + 6x^{3} – 10}{4x^{2}} \\
&= \displaystyle \frac{-12x^{3} – 10}{4x^{2}} \end{aligned}\)

Itulah pembahasan sifat-sifat turunan fungsi aljabar dan contoh soal. Masih ada satu aturan lagi yang belum dibahas, namanya adalah Aturan Rantai. Kita bahas di tulisan terpisah yaa, kalau dibahas sekarang tulisan ini terlalu panjang.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

27 − = 19