cara menyelesaikan limit
sumber: freepik.com

Cara Menyelesaikan Limit Mendekati Nol

Posted on 403 views

Edumatik.Net – Sebenarnya cara menyelesaikan limit nol itu sama aja seperti cara menyelesaikan limit pada umumnya, yaitu kamu harus coba dulu dengan cara limit substitusi. Jika dengan cara substitusi hasilnya berupa bentuk tentu maka itulah jawabannya, jika hasilnya berupa bentuk tak tentu maka lakukan dengan cara lain.

Tentunya di artilel ini akan banyak contoh soal limit untuk x mendekati nol. Tenang jangan panik dulu, karena bukan hanya soal yang akan diberikan tapi berikut dengan jawabannya.

Baiklah ini dia contoh soal dan cara menyelesaikan limit untuk x mendekati nol. Simak baik-baik yaa!

1). \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x-6}{x+2}\)

Jawab

\(\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x-6}{x+2} &= \frac{0-6}{0+2} \\
&= \frac{-6}{2} \\
&= -3 \end{aligned}\)

2). \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} – x + 1}{x^{4} + 2x +2}\)

Jawab

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} – x + 1}{x^{4} + 2x +2}\)

\(= \frac{0^{2} – 0 + 1}{0^{4} + 2(0) +2}\)

\(= \frac{0 – 0 + 1}{0 + 0 +2}\)

\(= \frac{1}{2}\)

3). \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} – 4x}{2x}\)

Jawab

Bentuk ini tidak bisa diselesaikan dengan cara substitusi, sehingga kita harus gunakan cara lain.

\(\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} – 4x}{2x} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x \left( x -4 \right)}{2x} \\
&= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ x -4 }{2} \\
&= \frac{ 0 -4 }{2} \\
&= \frac{ -4 }{2} \\
&= -2 \end{aligned}\)

4). \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4+x} – \sqrt{4-x}}{x}\)

Jawab

Setelah dilakukan percobaan, bentuk ini tidak dapat diselesaikan dengan cara substitusi dan pemfaktoran. Oleh karena itu kita gunakan cara menyelesaikan limit dengan cara kali akar sekawan.

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4+x} – \sqrt{4-x}}{x}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt{4+x} – \sqrt{4-x}}{x} \right) \times 1\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\left( \sqrt{4+x} – \sqrt{4-x} \right)}{x} \times \frac{\left( \sqrt{4+x} + \sqrt{4-x} \right)}{\left( \sqrt{4+x} + \sqrt{4-x} \right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\left( \sqrt{4+x} \right)^{2} – \left( \sqrt{4-x} \right)^{2}}{x\left( \sqrt{4+x} + \sqrt{4-x} \right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\left( 4+x \right)- \left( 4-x \right)}{x\left( \sqrt{4+x} + \sqrt{4-x} \right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4+x -4+x }{x\left( \sqrt{4+x} + \sqrt{4-x} \right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x\left( \sqrt{4+x} + \sqrt{4-x} \right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x}}\)

\(= \frac{2}{\sqrt{4+0} + \sqrt{4-0}}\)

\(= \frac{2}{\sqrt{4} + \sqrt{4}}\)

\(= \frac{2}{2+2}\)

\(= \frac{2}{4}\)

\(= \frac{1}{2}\)

5). \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x^{2} – 5x}{3 – \sqrt{9+x}}\)

Jawab

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x^{2} – 5x}{3 – \sqrt{9+x}}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{2x^{2} – 5x}{3 – \sqrt{9+x}} \right) \times 1\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\left( 2x^{2} – 5x \right)}{\left( 3 – \sqrt{9+x} \right)} \times \frac{\left( 3 + \sqrt{9+x} \right)}{\left( 3 + \sqrt{9+x} \right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\left( 2x^{2} – 5x \right) \left( 3 + \sqrt{9+x} \right)}{ 3^2 – \left( \sqrt{9+x} \right)^{2}}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\left( 2x^{2} – 5x \right) \left( 3 + \sqrt{9+x} \right)}{ 9 – \left( 9+x\right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\left( 2x^{2} – 5x \right) \left( 3 + \sqrt{9+x} \right)}{ 9 – 9-x}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ x \left( 2x – 5\right) \left( 3 + \sqrt{9+x} \right)}{-x}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ \left( 2x – 5\right) \left( 3 + \sqrt{9+x} \right)}{-1}\)

\(= \frac{ \left( 2(0) – 5\right) \left( 3 + \sqrt{9+0} \right)}{-1}\)

\(= \frac{ \left( 0- 5\right) \left( 3 + \sqrt{9} \right)}{-1}\)

\(= \frac{ \left(- 5\right) \left( 3 + 3 \right)}{-1}\)

\(= \frac{(- 5) 6}{-1}\)

\(= \frac{-30}{-1}\)

\(= 30\)

6). Tentukan hasil limit dari \(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}\) untuk fungsi-fungsi berikut ini:

(a) \(f(x) = x^{2} + 3x\)

(b) \(f(x) = x^{3} – 2x\)

Jawab 6a

Diketahui \(f(x) = x^{2} + 3x\), sekarang kita cari dulu bentuk \(f(x+h)\). Cara mencarinya yaitu dari fungsi \(f(x)\), hanya tinggal ditambahkan \(h\) pada variabel \(x\) nya.

\(\begin{aligned} f(x+h) &= (x+h)^{2} + 3(x+h) \\
&= \left( x^{2} + 2xh + h^{2} \right) + (3x + 3h) \\
&= x^{2} + 2xh + h^{2} + 3x + 3h \end{aligned}\)

Kita udah punya \(f(x)\) dan \(f(x+h)\), sehingga kita dapatkan bentuk pembilangnya, yaitu \(f(x+h) – f(x) = 2xh + h^{2} + 3h\)

Nah sekarang baru kita cari yang ditanyakan oleh soal.

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}\)

\(= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^{2} + 3h}{h}\)

\(= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h (2x + h + 3)}{h}\)

\(= \displaystyle \lim_{h \to 0} (2x + h + 3)\)

\(= 2x + 0+ 3\)

\(= 2x + 3\)

Jawab 6b

Sama seperti nomor 6a, kita tuliskan dulu \(f(x)\) dan \(f(x+h)\)

\(f(x) = x^{3} – 2x\)

\(\begin{aligned} f(x+h) &= (x+h)^{3} – 2(x+h) \\
&= x^{3} + 3x^{2}h + 3xh^{2} + h^{3} – 2x – 2h \end{aligned}\)

sehingga

\(f(x+h) – f(x) = 3x^{2}h + 3xh^{2} + h^{3} – 2h\)

jadi kita dapatkan

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}\)

\(= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{3x^{2}h + 3xh^{2} + h^{3} – 2h}{h}\)

\(= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h \left( 3x^{2} + 3xh+ h^{2} – 2 \right)}{h}\)

\(= \displaystyle \lim_{h \to 0} \left( 3x^{2} + 3xh+ h^{2} – 2 \right)\)

\(= 3x^{2} + 3x(0)+ (0)^{2} – 2\)

\(= 3x^{2} + 0+ 0- 2\)

\(= 3x^{2} – 2\)

Paham kan maksudnya?
Oh ya nomor 6 ini adalah sebagai syarat untuk mempelajari turunan fungsi aljabar, yaitu materi yang akan kita pelajari setelah materi limit fungsi aljabar. Jadi, sebisa mungkin kamu harus benar-benar paham bagaimana menyelesaiakan nomor 6 ini.

Oke itulah tadi pembahasan mengenai cara menyelesaikan limit untuk x mendekati nol. Masih ada dua materi lagi mengenai limit fungsi aljabar, yaitu cara menyelesaikan limit tak hingga bentuk pecahan dan limit tak hingga bentuk akar. Kita akan bahas di artikel terpisah, silahkan share tulisan ini jika dirasa bermanfaat.

0 0 vote
Article Rating
Beri tahu saya!
Notifikasi
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments