cara menyelesaikan limit fungsi aljabar
sumber: freepik.com

Cara Menyelesaikan Limit dengan Mudah

Posted on 326 views

Edumatik.Net – Pada tulisan kali ini kita akan belajar cara menyelesaikan limit fungsi aljabar dengan mudah. Metode penyelesaian limit itu ada banyak, dua metode penyelesaian limit fungsi sudah kita bahas pada artikel sebelumnya yaitu metode numerik (metode tabel) dan metode substitusi.

Jika kamu belum membacanya sebaiknya baca dulu tulisan tersebut agar kamu bisa membedakan cara-cara menyelesaikan limit fungsi aljabar.

Nah pada artikel ini metode penyelesaian limit yang akan kita pelajari adalah cara menghitung limit tak tentu dengan pemfaktoran dan kali akar sekawan.

Sebelum saya berikan soal limit fungsi pemfaktoran, kamu harus tau dulu bentuk hasil limit. Bentuk hasil limit ini dibedakan menjadi dua, ada bentuk tentu ada juga bentuk tak tentu.

Hasil Limit Bentuk Tentu
\(\left( a, \frac{a}{b}, \frac{a}{0} = \infty, \frac{0}{b} = 0 \right)\) \(a,b \in \mathbb{R}\)

Hasil Limit Bentuk Tak Tentu
\(\left( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty – \infty, 0^{0}, (\infty)^{\infty} \right)\) \(a,b \in \mathbb{R}\)

PENTING
Dengan menggunakan metode substitusi, jika hasilnya merupakan bentuk tentu maka bentuk tentu itulah hasil limitnya. Tapi jika hasilnya merupakan bentuk tak tentu, maka harus diproses menggunakan metode faktorisasi atau kali sekawan.

Agar kamu paham mengenai hasil bentuk tentu dan tak tentu, perhatikan contoh-contoh dibawah ini!

Tentukan hasil limit berikut!

1). \(\displaystyle \lim_{x \to 1} 5x^{3}\)

2). \(\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{4-3x}{-2x}\)

3). \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{2x-3}{x-3}\)

4). \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{4-4x}{3x}\)

5). \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} – 4}{x-2}\)

Jawab 1

\(\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} 5x^{3} &= 5(1)^{3} \\
&= 5 . 1 \\
&= 5 (\text{ bentuk tentu}) \end{aligned}\)

Artinya nilai dari \(\displaystyle \lim_{x \to 1} 5x^{3} = 5\)

Jawab 2

\(\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{4-3x}{-2x} &= \frac{4-3(-1)}{-2(-1)} \\
&= \frac{4+3}{3} \\
&= \frac{7}{3} (\text{ bentuk tentu}) \end{aligned}\)

Artinya nilai dari \(\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{4-3x}{-2x} = \frac{7}{3}\)

Jawab 3

\(\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{2x-3}{x-3} &= \frac{2(3)-3}{3-3} \\
&= \frac{6-3}{0} \\
&= \frac{3}{0} \\
&= \infty (\text{ bentuk tentu}) \end{aligned}\)

Artinya nilai dari \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{2x-3}{x-3} = \infty\)

Khusus dalam limit, ketika hasil limitnya berbentuk \(\frac{a}{0}\) maka nilainya sama dengan \(\infty\), hal ini dikarenakan grafik fungsi \(f(x) = \frac{a}{x}\) untuk \(x\) mendekati \(0\) nilai nya mendekati \(\infty\).

Jawab 4

\(\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{4-4x}{3x} &= \frac{4-4(1)}{3(1)} \\
&= \frac{4-4}{3} \\
&= \frac{0}{3} \\
&= 0 (\text{ bentuk tentu}) \end{aligned}\)

Artinya nilai dari \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{4-4x}{3x} = 0\)

Jawab 5

\(\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} – 4}{x-2} &= \frac{2^{2} – 4}{2-2} \\
&= \frac{4-4}{2-2} \\
&= \frac{0}{0} (\text{ bentuk tak tentu}) \end{aligned}\)

Hasilnya tidak ada bilangan yang memenuhi, sehingga harus diselesaikan dengan menggunakan metode lain.

Nah nomor 5 ini merupakan contoh soal limit fungsi pemfaktoran, maksudnya adalah soal tersebut hanya bisa diselesaikan dengan metode pemfaktoran.

Menyelesaikan Limit dengan Cara Pemfaktoran

Dari namanya aja sudah jelas bahwa cara ini adalah dengan memfaktorkan pembilang ataupun penyebut dari suatu fungsi limit. Sekarang kita coba selesaikan soal nomor 5 diatas dengan cara memfaktorkan pembilangnya.

\(\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} – 4}{x-2} &= \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)} \\
&= \displaystyle \lim_{x \to 2} x+2 \\
&= 2+2 \\
&= 4 \end{aligned}\)

Itulah contoh soal limit pemfaktoran dan penyelesaiannya, soal-soal latihan lainnya akan diberikan diakhir. Sekarang kita pelajari dulu aja materi-materinya. Oke selanjutnya kita akan belajar cara menyelesaikan limit bentuk akar.

Menyelesaikan Limit dengan Cara Kali Akar Sekawan

Ada suatu kondisi dimana suatu limit tidak bisa diselesaikan dengan cara substitusi ataupun pemfaktoran, salah satunya adalah limit fungsi yang berbentuk akar.

Adapun contoh soal limit fungsi aljabar bentuk akar adalah sebagai berikut.

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x}}\)

Nah penyelesaian limit akar ini hanya bisa dengan metode kali akar sekawan, coba aja selesaikan dengan substitusi pasti hasilnya bentuk tak tentu yaitu \(\frac{0}{0}\). Metode pemfaktoranpun sangat sulit, yaa jadi solusinya pakai kali akar sekawan. Oke langsung aja kita jawab yaa.

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x}}\)

\(\begin{aligned} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x}} \right) \times 1 \\
&= \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x}} \right) \times \frac{ \left( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \right)}{\left( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \right)} \\
&= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\left( \sqrt{1+x} – \sqrt{1-x} \right)} \times \frac{ \left( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \right)}{\left( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \right)} \\
&= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x \left( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \right)}{\left( \sqrt{1+x} \right)^{2} – \left( \sqrt{1-x} \right)^{2}}\end{aligned}\)
Perubahan diatas dari bentuk rumus \((a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\)
\(\begin{aligned} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ x \left( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \right)}{\left( 1+x\right) – \left( 1-x\right)} \\
&= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x \left( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \right)}{1+x – 1+x} \\
&= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x \left( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \right)}{2x} \\
&= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{2} \\
&= \frac{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}}{2} \\
&= \frac{\sqrt{1} + \sqrt{1}}{2} \\
&= \frac{1 +1}{2} \\
&= \frac{2}{2} \\
&= 1 \end{aligned}\)

Seperti yang sudah saya bilang diatas, saya akan memberikan contoh soal limit fungsi pemfaktoran dan pembahasannya. Tentunya dengan contoh soal limit fungsi bentuk akar juga. Simak baik-baik yaa!

1). Tentukan nilai dari \(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^{2} – 16}{x^{2} – x – 12}\)

Jawab

\(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^{2} – 16}{x^{2} – x – 12}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+3)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x+4}{x+3}\)

\(= \frac{4+4}{4+3}\)

\(= \frac{8}{7}\)

2). Tentukan nilai dari \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^{2} – 7x + 12}{x^{2} – 4x +3}\)

Jawab

\(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^{2} – 7x + 12}{x^{2} – 4x +3}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)(x-1)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x-4}{x-1}\)

\(= \frac{3-4}{3-1}\)

\(= \frac{-1}{2}\)

\(= – \frac{1}{2}\)

3). Tentukan nilai dari \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} – \sqrt{2x-1}}{x-1}\)

Jawab

\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} – \sqrt{2x-1}}{x-1}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \frac{\sqrt{x} – \sqrt{2x-1}}{x-1} \right) \times 1\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\left( \sqrt{x} – \sqrt{2x-1} \right)}{(x-1)} \times \frac{ \left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)}{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ \left( \sqrt{x} \right)^{2} – \left( \sqrt{2x-1} \right)^{2}}{(x-1) \left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ x – (2x-1)}{(x-1) \left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ x – 2x+1}{(x-1) \left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ -x+1}{(x-1) \left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ -(x-1)}{(x-1) \left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ -1}{\sqrt{x} + \sqrt{2x-1}}\)

\(= \frac{ -1}{\sqrt{1} + \sqrt{2(1)-1}}\)

\(= \frac{ -1}{\sqrt{1} + \sqrt{2-1}}\)

\(= \frac{ -1}{\sqrt{1} + \sqrt{1}}\)

\(= \frac{ -1}{1+ 1}\)

\(= \frac{ -1}{2}\)

\(= – \frac{1}{2}\)

4). Tentukan nilai dari \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{4x^{2}}{3 – \sqrt{x^{2}+5}}\)

Jawab

Ingat! tidak semua bentuk akar diselesaikan dengan kali sekawan. Seperti yang sudah ditulis pada paragraf “PENTING” diatas, coba dulu dengan substitusi. Jika hasilnya bentuk tentu maka itulah hasilnya, tapi jika bentuknya tak tentu maka selesaikan dengan cara lain.

Nah contoh nomor 4 ini merupakan contoh yang hasil limitnya bentuk tentu.

\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{4x^{2}}{3 – \sqrt{x^{2}+5}}\)

\(= \frac{4(2)^{2}}{3 – \sqrt{2^{2}+5}}\)

\(= \frac{4(4)}{3 – \sqrt{4+5}}\)

\(= \frac{16}{3 – \sqrt{9}}\)

\(= \frac{16}{3 – 3}\)

\(= \frac{16}{0}\)

\(= \infty\)

Itulah tadi contoh soal limit fungsi pemfaktoran dan bentuk akar beserta dengan pembahasannya. Jika ada yang belum paham silahkan komentar dibawah. Berikutnya kita akan belajar cara menyelesaikan limit x mendekati 0. Tolong bagikan tulisan ini yaa!

0 0 vote
Article Rating
Beri tahu saya!
Notifikasi
guest
2 Comments
oldest
newest most voted
Inline Feedbacks
View all comments
Raka Afp
Raka Afp
3 months ago

Sukses terus blognya min, saya jadikan ini blog favorit untuk belajar MTK sedikit- demi sedikit