Contoh Soal Integral Substitusi
sumber: freepik.com

Contoh Soal Integral Substitusi Terlengkap

Posted on 85 views

Edumatik.Net – Pada artikel ini kita akan belajar contoh soal integral substitusi. Bukan hanya itu, aku juga akan kasih soal latihan biar kamu bisa langsung mencobanya setelah kamu paham contoh soal integral substitusi yang udah aku jelasin nantinya.

Apa itu integral substitusi? Integral substitusi adalah salah satu teknik integral untuk menyelesaikan persoalan integral dengan cara mengganti variabel lama dengan variabel baru.

Advertisements

Integral substitusi dan contoh soal biasanya disampaikan pada jenjang SMA kelas XI semester 2, tapi tidak menutup kemungkinan jika materi ini disampaikan tidak sesuai dengan yang aku katakan diatas.

Integral dengan teknik substitusi memiliki ciri yang cukup menonjol, sehingga kita bisa langsung menentukan bahwa soal tersebut penyelesaiannya menggunakan teknik integral substitusi atau bukan.

Adapun ciri-ciri soal yang menggunakan teknik integral substitusi adalah sebagai berikut:

  • Sebagian bentuk fungsi merupakan turunan dari fungsi lainnya.
  • Biasanya pangkat sebagian fungsi dengan fungsi yang lain berbeda.
Advertisements

Nah untuk memahami teknik integral substitusi lebih dalam lagi, langsung aja kita ke contohnya.

Contoh Soal Integral Substitusi

Berikut ini adalah contoh soal integral substitusi aljabar beserta dengan pembahasannya, simak baik-baik ya!

Tentukanlah integral dari \(\int{15x^{4} (3x^{5} – 6)} dx\)

Nah untuk menjawab soal integral di atas, kita ambil pemisalan. Biasanya yang di dalam tanda kurung atau di dalam tanda akar atau yang pangkatnya paling besar.

Misalkan \(\color{red}{u = 3x^{5} – 6}\), maka \(\frac{du}{dx} = 15x^{4}\) atau \(\color{blue}{du = 15x^{4} dx}\).

Agar kamu paham, aku kasih warna biar jelas yang mana yang di substitusikannya.

\(\displaystyle \begin{aligned} \int{\color{blue}{15x^{4}} \color{red}{(3x^{5} – 6)}} \color{blue}{dx} &= \int{\color{red}{(u)} \color{blue}{du}} \\ &= \frac{1}{2} u^{2} \\ &= \frac{1}{2} (3x^{5} – 6)^{2} \\ &= \frac{(3x^{5} – 6)^{2}}{2} + C \end{aligned}\)

Gimna, mudah banget kan?
Yuk kita lihat lagi contoh soal integral substitusi yang lainnya!

Advertisements

1). Tentukan hasil dari \(\int{(4x-3)(2x^{2} – 3x)^{7}} dx\)

Jawab

\(\int{(4x-3)(2x^{2} – 3x)^{7}} dx\)

Misalkan

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{red}{u} &= \color{red}{2x^{2} – 3x} \\ \frac{du}{dx} &= 4x -3 \\ \color{blue}{du} &= \color{blue}{(4x-3) dx} \end{aligned}\)

Maka

\(\displaystyle \begin{aligned} \int{ \color{blue}{(4x-3)} (\color{red}{2x^{2} – 3x})^{7}} \color{blue}{dx} &= \int{\color{red}{u}^{7}} \color{blue}{du} \\ &= \frac{1}{8} u^{8} + C \\ &= \frac{(2x^{2} – 3x)^{8}}{8} + C \end{aligned}\)

2). Tentukan integral dari \(f(x) = x^{2}(x^{3} – 3)^{4}\)

Jawab

\(\int{x^{2}(x^{3} – 3)^{4}} dx\)

Misalkan

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{red}{u} &= \color{red}{x^{3} – 3} \\ \frac{du}{dx} &= 3x^{2} \\ \color{blue}{\frac{1}{3} du} &= \color{blue}{x^{2} dx} \end{aligned}\)

Maka

\(\displaystyle \begin{aligned} \int{ \color{blue}{x^{2}} (\color{red}{x^{3} – 3})^{4}} \color{blue}{dx} &= \int{\color{red}{u}^{4}} \color{blue}{\frac{1}{3} du} \\ &= \frac{1}{3} \int{(u^{4})} du \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{5} u^{5} + c \right) \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{(x^{3} – 3)^{5}}{5} + c \right) \\ &= \frac{(x^{3} – 3)^{5}}{15} + \frac{1}{3} c \\ &= \frac{(x^{3} – 3)^{5}}{15} + C \end{aligned}\)

3). Tentukan integral substitusi aljabar dari fungsi \(f(x) = \frac{6x}{\sqrt{x^{2} + 2}}\)

Jawab

\(\int{\frac{6x}{\sqrt{x^{2} + 2}}} dx\)

Misalkan

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{red}{u} &= \color{red}{x^{2} + 2} \\ \frac{du}{dx} &= 2x \\ \color{blue}{du} &= \color{blue}{(2x) dx} \end{aligned}\)

Maka

\(\displaystyle \begin{aligned} \int{\frac{6x}{\sqrt{x^{2} + 2}}} dx &= \int{\frac{3. (2x)}{\sqrt{x^{2} + 2}}} dx \\ &= 3. \int{\frac{\color{blue}{2x}}{\sqrt{\color{red}{x^{2} + 2}}}} \color{blue}{dx} \\ &= 3 . \int{\frac{1}{\sqrt{\color{red}{u}}}} \color{blue}{du} \\ &= 3. \int{u^{- \frac{1}{2}}} du \\ &= 3. (2 u^{\frac{1}{2}} + c) \\ &= 6 \sqrt{u} + 3c \\ &= 6 \sqrt{x^{2} + 2} + C \end{aligned}\)

Advertisements

4). Tentukan hasil dari \(\int{(x^{2} \sqrt{2x^{3} – 4})} dx\)

Jawab

\(\int{(x^{2} \sqrt{2x^{3} – 4})} dx\)

Misalkan

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{red}{u} &= \color{red}{2x^{3} – 4} \\ \frac{du}{dx} &= 6x^{2} \\ \color{blue}{\frac{1}{6} du} &= \color{blue}{(x^{2}) dx} \end{aligned}\)

Maka

\(\displaystyle \begin{aligned} \int{\color{blue}{x^{2}} \sqrt{\color{red}{2x^{3} – 4}}} \color{blue}{dx} &= \int{\color{blue}{\frac{1}{6}} \sqrt{\color{red}{u}}} \color{blue}{du} \\ &= \frac{1}{6} . \int{\sqrt{u}} du \\ &= \frac{1}{6} . \int{u^{\frac{1}{2}}} du \\ &= \frac{1}{6} . \left( \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + c \right) \\ &= \frac{1}{9} \sqrt{u^{3}} + \frac{1}{6} c \\ &= \frac{1}{9} \sqrt{(2x^{3} – 4)^{3}} + C \end{aligned}\)

5). Tentukan hasil dari \(\int{x (x-3)^{5}} dx\)

Jawab

Nah contoh soal integral substitusi pada nomor 5 ini sedikit berbeda pengerjaannya, tapi tetap masih menggunakan integral substitusi.

Misalkan

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{red}{u} &= \color{red}{x-3} \\ \frac{du}{dx} &= 1 \\ \color{blue}{du} &= \color{blue}{dx} \end{aligned}\)

Karena \(u = x-3\), maka \(\color{green}{x = u+3}\).

Jadi

\(\displaystyle \begin{aligned} \int{ \color{green}{x} (\color{red}{x-3})^{5}} \color{blue}{dx} &= \int{\color{green}{(u+3)} \color{red}{u}^{5}} \color{blue}{du} \\ &= \int{(u^{6} + 3u^{5})} du \\ &= \frac{1}{7} u^{7} + \frac{3}{6} u^{6} \\ &= \frac{u^{7}}{7} + \frac{u^{6}}{2} \\ &= \frac{(x-3)^{7}}{7} + \frac{(x-3)^{6}}{2} + C \end{aligned}\)

6). Tentukan hasil pengintegralan dari fungsi \(g(x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 5}\)

Jawab

\(\int{\frac{e^{x}}{e^{x} + 5}} dx\)

Misalkan

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{red}{u} &= \color{red}{e^{x} + 5} \\ \frac{du}{dx} &= e^{x} \\ \color{blue}{du} &= \color{blue}{e^{x} dx} \end{aligned}\)

Maka

\(\displaystyle \begin{aligned} \int{\frac{\color{blue}{e^{x}}}{\color{red}{e^{x} + 5}}} \color{blue}{dx} &= \int{\frac{1}{\color{red}{u}}} \color{blue}{du} \\ &= \ln |u| \\ &= \ln |e^{x} + 5| + C \end{aligned}\)

Itulah pembahasan contoh soal integral substitusi, berikutnya kamu cobain latihan yaa!

Soal Latihan Integral Substitusi

Agar kamu makin paham dengan penjelasan di atas, sebaiknya kamu coba selesaikan soal-soal integral substitusi aljabar berikut!

Advertisements

1). \(\int{2x(x^{2} + 5)} dx\)

2). \(\int{(3x^{2} – 1)(x^{3} – x)^{3}} dx\)

3). \(\int{4x (6x^{2} + 3)^{5}} dx\)

4). \(\displaystyle \int{\left( \frac{4x}{\sqrt{x^{2} + 2}} \right)} dx\)

5). \(\displaystyle \int{\left( \frac{6x-12}{\sqrt{x^{2} – 4x +5}} \right)} dx\)

6). \(\int{x (x-4)^{6}} dx\)

Itulah pembahasan lengkap contoh soal integral substitusi, berikutnya kita akan belajar teknik integral parsial. Bagikan tulisan ini jika bermanfaat, agar orang lain mendapatkan manfaatnya juga.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *