Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri

Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri

Posted on 339 views

Edumatik.Net – Jika sedang mencari contoh soal limit trigonometri, kamu sudah berada ditempat yang tepat. Karena pada tulisan ini aku akan memberikan contoh soal limit fungsi trigonometri lengkap dengan pembahasannya.

Contoh limit fungsi trigonometri yang sesuai dengan sifat-sifat dasarnya udah aku bahas di tulisan sebelumnya yaitu sifat limit fungsi trigonometri dan contoh soal. Sebaiknya kamu baca dulu tulisan itu, karena pembahasan kita akan ada kaitannya dengan materi sebelumnya.

Bukan hanya contoh soal limit trigonometri yang akan kamu dapatkan di artikel ini, kamu juga akan mendapatkan latihan soal limit trigonometri. Jadi setelah kamu paham dengan contoh soal limit fungsi trigonometri, kamu bisa langsung latihan.

Contoh Soal Limit Trigonometri

Berikut ini adalah contoh soal limit fungsi trigonometri lengkap dengan pembahasannya.

1). \(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left[ \sin 2x – \tan \frac{1}{2} x \right]\)

Jawab:

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left[ \sin 2x – \tan \frac{1}{2} x \right] &= \sin \left( 2 .\frac{\pi}{2} \right) – \tan \left( \frac{1}{2} .\frac{\pi}{2} \right) \\ &= \sin \pi – \tan \left(\frac{\pi}{4} \right) \\ &= \sin 180^{\circ} – \tan 45^{\circ} \\ &= 0+1 \\ &= 1 \end{aligned}\)

2). \(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \left[ \frac{2 \tan x – \sin x}{\cos x} \right]\)

Jawab:

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \left[ \frac{2 \tan x – \sin x}{\cos x} \right] &=\displaystyle \frac{2 \tan \frac{\pi}{3} – \sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{2 \tan 60^{\circ} – \sin 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} \\ &= \displaystyle \frac{2 \sqrt{3} – \frac{1}{2} \sqrt{3}}{\frac{1}{2}} \\ &= \displaystyle \frac{\frac{4 \sqrt{3} – \sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} \\ &= \displaystyle \frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} \\ &= \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{1} \\ &= 3 \sqrt{3} \end{aligned}\)

3). \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left[ \frac{2x^{2}+x}{\sin x} \right]\)

Jawab:

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \left[ \frac{2x^{2}+x}{\sin x} \right] &= \lim_{x \to 0} \left[ \frac{2x^{2}}{\sin x} + \frac{x}{\sin x} \right] \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{2x^{2}}{\sin x} + \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \\ &= \lim_{x \to 0} \left[ x. \frac{2x}{\sin x} \right] + 1 \\ &= \lim_{x \to 0} x . \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin x} + 1 \\ &= 0 . 2+ 1 \\ &= 0+1 \\ &= 1 \end{aligned}\)

4). \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left[ \frac{x^{2}}{1 – \cos 2x} \right]\)

Jawab:

Ingat, \(\cos 2x = 1-2 \sin^{2} x\)

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \left[ \frac{x^{2}}{1 – \cos 2x} \right] &= \lim_{x \to 0} \left[ \frac{x^{2}}{1 – (1-2 \sin^{2} x)} \right] \\ &= \lim_{x \to 0} \left[ \frac{x^{2}}{2 \sin^{2} x} \right] \\ &= \frac{1}{2} . \lim_{x \to 0} \left[ \frac{x}{\sin x} . \frac{x}{\sin x} \right] \\ &= \frac{1}{2} . \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} . \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \\ &= \frac{1}{2} . 1 . 1 \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}\)

5). \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1 – \cos 6x}{x^{2}} \right]\)

Jawab:

Ingat, \(\cos ax = 1-2 \sin^{2} \frac{1}{2} ax\)

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1 – \cos 6x}{x^{2}} \right] &= \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1 – (1-2 \sin^{2} 3x)}{x^{2}} \right] \\ &= \lim_{x \to 0} \left[ \frac{2 \sin^{2} 3x}{x^{2}} \right] \\ &= 2. \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\sin 3x}{x} . \frac{\sin 3x}{x} \right] \\ &= 2. \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} . \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \\ &= 2 . 3 . 3 \\ &= 18 \end{aligned}\)

6). \(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{8}} \left[ \frac{\sin^{2} 2x – \cos^{2} 2x}{\sin 2x – \cos 2x} \right]\)

Jawab:

Ingat, \(a^{2} – b^{2} = (a-b)(a+b)\)

\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{8}} \left[ \frac{\sin^{2} 2x – \cos^{2} 2x}{\sin 2x – \cos 2x} \right]\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to \frac{\pi}{8}} \left[ \frac{(\sin 2x – \cos 2x)(\sin 2x + \cos 2x)}{(\sin 2x – \cos 2x)} \right]\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to \frac{\pi}{8}} \left[ \sin 2x + \cos 2x \right]\)

\(\displaystyle = \sin 2 \left(\frac{\pi}{8} \right) + \cos 2 \left( \frac{\pi}{8} \right)\)

\(\displaystyle = \sin \left(\frac{\pi}{4} \right) + \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)\)

\(\displaystyle = \sin 45^{\circ} + \cos 45^{\circ}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} \sqrt{2} + \frac{1}{2} \sqrt{2}\)

\(\displaystyle = \sqrt{2}\)

Itulah contoh soal limit trigonometri dan pembahasannya, semoga kamu paham dengan apa yang aku jelaskan.

Latihan Soal Limit Trigonometri

Berikut ini soal latihan limit fungsi trigonometri, silahkan selesaikan!

1). \(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \left[ \frac{\sin 2x}{\sin x + \cos x} \right]\)

2). \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \left[ \frac{x \tan (2x-6)}{\sin (x-3)} \right]\)

3). \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left[ \frac{5x . \tan 8x}{1- \cos 4x} \right]\)

4). \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1- \cos 2x}{x \tan 2x} \right]\)

5). \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \left[ \frac{ \sin \left( 1- \frac{1}{x} \right) \cos \left( 1- \frac{1}{x} \right)}{x-1} \right]\)

6). \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \left[ \frac{1- \cos^{2} (x-1)}{4 (x^{2} -2x +1)} \right]\)

Akhirnya selesai juga pembahasan contoh limit fungsi trigonometri, jangan lupa kerjakan soal latihan limit fungsi trigonometrinya yaa. Berikutnya aku akan bahas contoh limit trigonometri tak hingga. Bagikan tulisan ini agar bermanfaat untuk orang lain, sampai bertemu lagi di artikel berikutnya.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *