Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonometri

Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonometri

Posted on 127 views

Edumatik.Net – Pada tulisan ini kamu akan belajar contoh soal turunan fungsi trigonometri beserta dengan jawabannya. Jika kamu konsentrasi, pasti mudah banget memahaminya.

Materi turunan fungsi trigonometri dan contoh soal ini memerlukan rumus dasar untuk menyelesaikannya. Rumus dasar tersebut sudah aku bahas secara lengkap di tulisan sebelumnya.

1. Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonometri Menggunakan Rumus Dasar

Berikut ini adalah rumus dasar turunan fungsi trigonometri yang sudah kita buktikan pada tulisan sebelumnya, kamu bisa lihat pembuktian rumus turunan trigonometri pada link tersebut.

\(\color{red}{y = \sin x \to y’ = \cos x}\)
\(\color{red}{y = \cos x \to y’ = – \sin x}\)
\(\color{red}{y = \tan x \to y’ = \sec^{2} x}\)
\(\color{red}{y = \cot x \to y’ = – \csc^{2} x}\)
\(\color{red}{y = \sec x \to y’ = \sec x . \tan x}\)
\(\color{red}{y = \csc x \to y’ = – \csc x . \cot x}\)

Advertisements

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut ini!

1). \(y = 2 \sin x\)
2). \(y = 3 \sin x + \tan x\)
3). \(y = 2 \cos x + 5 \sin x\)
4). \(y = 3x \cos x\)
5). \(y = \sin x \cos x\)

Jawab Nomor 1

Dengan menggunakan “aturan hasil kali” pada aturan turunan fungsi aljabar, kita bisa mengabaikan konstanta yang ada di depan.

\(\begin{aligned} y &= 2 \sin x \\ y’ &= 2 \cos x \end{aligned}\)

Jawab Nomor 2

\(\begin{aligned} y &= 3 \sin x + \tan x \\ y’ &= 3 \cos x + \sec^{2} x \end{aligned}\)

Jawab Nomor 3

\(\begin{aligned} y &= 2 \cos x + 5 \sin x \\ y’ &= 2 (- \sin x) + 5 \cos x \\ &= -2 \sin x + 5 \cos x \end{aligned}\)

Jawab Nomor 4

Kita akan gunakan aturan hasil kali pada turunan, yaitu \(f'(x) = u’ v + u v’\)

\(f(x) = 3x \cos x\)

\(u = 3x \to u’ = 3\)

\(v = \cos x \to v’ = – \sin x\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= u’ v + u v’ \\ &= 3 \cos x + 3x (- \sin x) \\ &= 3 \cos x – 3x \sin x \end{aligned}\)

Jawab Nomor 5

\(y = \sin x \cos x\)

\(u = \sin x \to u’ = \cos x\)

\(v = \cos x \to v’ = – \sin x\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= u’ v + u v’ \\ &= \cos x \cos x + \sin x (- \sin x) \\ &= \cos^{2} x – \sin^{2} x \\ &= \cos 2x \end{aligned}\)

Gimana, mudah banget kan?
Berikutnya kita akan pelajari turunan fungsi trigonometri dan contohnya yang lebih kompleks, yaitu menggunakan rumus pengembangan.

2. Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonometri Menggunakan Rumus Pengembangan I

Rumus ini merupakan pengembangan dari rumus dasar turunan trigonometri yang menggunakan aturan rantai, jadi sebaiknya kamu pahami dulu mengenai aturan rantai fungsi aljabar.

Berikut ini adalah rumus pengembangan I turunan fungsi trigonometri.

\(\color{red}{y = \sin u \to y’ = u’ . \cos u}\)
\(\color{red}{y = \cos u \to y’ = – u’ . \sin u}\)
\(\color{red}{y = \tan u \to y’ = u’ . \sec^{2} u}\)
\(\color{red}{y = \cot u \to y’ = – u’ . \csc^{2} u}\)
\(\color{red}{y = \sec u \to y’ = u’ . \sec u . \tan u}\)
\(\color{red}{y = \csc u \to y’ = – u’ . \csc u . \cot u}\)

Advertisements

Aku akan kasih satu contoh soal turunan fungsi trigonometri menggunakan aturan rantai, agar kamu bisa memahami maksud rumus pengembangan I diatas.

Tentukan turunan dari fungsi \(y = \sin (3x)\)!

Jawab:

Kita akan mencari \(y’\) atau \(\frac{dy}{dx}\) (turunan y terhadap x).

Misalkan \(u = 3x\) maka \(\frac{du}{dx} = 3\)

Karena \(3x\) dimisalkan menjadi \(u\) maka fungsinya menjadi \(y = \sin u\). Sehingga turunannya adalah \(\frac{dy}{du} = \cos u\).

\(\displaystyle \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx} \\ y’ &= \cos u . 3 \\ y’ &= \color{red}{3 . \cos u} \\ y’ &= 3 \cos (3x) \end{aligned}\)

Itulah jawabannya.
Sekarang perhatikan yang aku kasih warna merah pada proses diatas!

\(3\) merupakan turunan dari \(u = 3x\), artinya \(u’ = 3\)

Jadi kita bisa menuliskan rumus umumnya, turunan dari \(y = \sin u\) adalah \(y’ = u’ \cos u\). Sama kan dengan rumus pengembangan I diatas?

Itulah alasan kenapa rumus pengembangan ini berasal dari aturan rantai.

Note: rumus pengembangan I ini sama halnya dengan rumus dasar turunan fungsi trigonometri, bedanya hanya ditambahkan \(u’\) di awalnya.

Nah sekarang kita akan coba jawab pertanyaan-pertanyaan yang ada dibawah ini menggunakan rumus pengembangan I. Inilah dia contoh soal turunan fungsi trigonometri dan pembahasannya.

Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut!
1). \(y = \sin (3x)\)
2). \(y = \tan (2x-5)\)
3). \(y = \cos (5x^{3} + 2x -8)\)

Jawab Nomor 1

\(y = \sin (3x)\)

Misalkan \(u = 3x\) maka \(u’ = 3\)

\(y’ = u’ . \cos u\)

\(y’ = 3 . \cos (3x)\)

\(y’ = 3 \cos (3x)\)

Sama kan dengan menggunakan aturan rantai?
Bedanya, cara ini lebih simpel. Ya iyalah, namanya juga cara cepat.

Jawab Nomor 2

\(y = \tan (2x-5)\)

Misalkan \(u = 2x-5\) maka \(u’ = 2\)

\(y’ = u’ . \sec^{2} u\)

\(y’ = 2 . \sec^{2} (2x-5)\)

\(y’ = 2 \sec^{2} (2x-5)\)

Jawab Nomor 3

\(y = \cos (5x^{3} + 2x -8)\)

Misalkan \(u = 5x^{3} + 2x -8\) maka \(u’ = 15x^{2} + 2\)

\(y’ = – u’ . \sin u\)

\(y’ = – (15x^{2} + 2) . \sin (5x^{3} + 2x -8)\)

\(y’ = (-15x^{2} – 2) \sin (5x^{3} + 2x -8)\)

3. Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonometri Menggunakan Rumus Pengembangan II

Turunan trigonometri dengan rumus pengembangan II ini cukup kompleks bentuk rumusnya, akan tetapi masih mudah untuk di ingat karena sedikit mirip dengan bentuk rumus-rumus sebelumnya.

\(\color{red}{y = \sin^{n} u \to y’ = u’ . n .\sin^{n-1} u .\cos u}\)
\(\color{red}{y = \cos^{n} u \to y’ = – u’ .n .\cos^{n-1} u . \sin u}\)
\(\color{red}{y = \tan^{n} u \to y’ = u’ . n .\tan^{n-1} u . \sec^{2} u}\)
\(\color{red}{y = \cot^{n} u \to y’ = – u’ .n .\cot^{n-1} u . \csc^{2} x}\)
\(\color{red}{y = \sec^{n} u \to y’ = u’ . n .\sec^{n-1} u . \sec u . \tan u}\)
\(\color{red}{y = \csc^{n} u \to y’ = – u’ .n .\csc^{n-1} u . \csc u . \cot u}\)

Advertisements

Sebelum membahas lebih jauh turunan fungsi trigonometri dan contoh soalnya, aku akan kasih tips dulu mengenai cara menghafal rumus turunan trigonometri pengembangan II ini.

Kita coba bandingkan rumus pengembangan I dan pengembangan II. Aku ambil contoh turunan untuk sinus.

Pengembangan I
\(y = \sin u \to y’ = u’ . \cos u\)

Pengembangan II
\(y = \sin^{n} u \to y’ = u’ . n .\sin^{n-1} u .\cos u\)

Bisa kalian lihat kan perbedaannya?
\(u’\) dan \(\cos u\) tetap, yang bertambah hanya \(n . \sin^{n-1} u\). Begitupun untuk rumus turunan trigonometri lainnya.

Oke, itulah sedikit tips untuk mengingat rumusnya versi aku.

Dari mana rumus pengembangan II turunan fungsi trigonometri ini berasal?

Sama halnya dengan dengan rumus pengembangan I, rumus pengembangan II juga berproses dari aturan rantai. Hanya saja aturan rantainya lebih kompleks.

Agar kamu paham, aku akan jelasin dulu prosesnya dengan menggunakan aturan rantai. Setelah itu baru aku akan kasih contoh soal turunan fungsi trigonometri sekaligus dengan pembahasannya.

Diketahui \(y = \sin^{3} (2x^{5} – 7x)\), tentukanlah turunan pertamanya!

Jawab:

Turunan pertama itu \(y’\) atau \(\frac{dy}{dx}\)

Misalkan \(u = 2x^{5} – 7x\) maka \(\frac{du}{dx} = 10x^{4} -7\)

Misalkan \(v = \sin u\) maka \(\frac{dv}{du} = \cos u\)

Sehingga \(y = v^{3}\), maka \(\frac{dy}{dv} = 3v^{2}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{dv} . \frac{dv}{du} . \frac{du}{dx} \\ y’ &= 3v^{2} . \cos u . (10x^{4} -7) \\ y’ &= 3 \sin^{2} u. \cos u . (10x^{4} -7) \\ y’ &= 3 \sin^{2} (2x^{5} – 7x) . \cos (2x^{5} – 7x) . (10x^{4} -7) \\ y’ &= \color{red}{(10x^{4} -7). 3 .\sin^{2} (2x^{5} – 7x) . \cos (2x^{5} – 7x)} \\ y’ &= (30x^{4} -21). \sin^{2} (2x^{5} – 7x) . \cos (2x^{5} – 7x) \end{aligned}\)

Perhatikan yang berwarna merah pada proses diatas!
\((10x^{4} -7)\) adalah \(u’\)
\(3\) adalah \(n\)
\(\sin^{2}\) adalah \(\sin^{n-1}\)
\((2x^{5} – 7x)\) adalah \(u\)

Jika semuanya diganti dengan simbol-simbol diatas, maka \(y’ = u’ . n . \sin^{n-1} u. \cos u\). Nah bentuk inilah yang disebut turunan dari fungsi trigonometri \(y = \sin^{n} u\).

Sekarang kalian udah paham kan darimana rumus pengembangan II itu berasal?

Inilah contoh soal turunan fungsi trigonometri menggunakan rumus cepat. Simak baik-baik yaa!

1). \(y = \sin^{2} x\)

2). \(\cot^{3} (x^{2} – x+ 7)\)

Jawab Nomor 1

\(y = \sin^{2} x\)

\(n =2\), \(u=x\), dan \(u’=1\).

\(y’ = u’ . n .\sin^{n-1} u .\cos u\)

\(y’ = 1 . 2. \sin^{2-1} x .\cos x\)

\(y’ = 2. \sin^{1} x .\cos x\)

\(y’ = 2 \sin x \cos x\)

\(y’ = \sin 2x\)

Jawab Nomor 2

\(\cot^{3} (x^{2} – x+ 7)\)

\(n =3\), \(u=x^{2} – x+ 7\), dan \(u’= 2x – 1\).

\(y’ = – u’ .n .\cot^{n-1} u . \csc^{2} u\)

\(y’ = – (2x – 1) . 3 .\cot^{3-1} u . \csc^{2} u\)

\(y’ = – (6x – 3) . \cot^{2} u . \csc^{2} u\)

\(y’ = (3-6x) . \cot^{2} (x^{2} – x+ 7) . \csc^{2} (x^{2} – x+ 7)\)

Itulah pembahasan turunan fungsi trigonometri dan contoh. Nah untuk mengecek pemahaman kamu, sudah aku siapin nih soal-soal latihan yang bisa kamu kerjakan.

4. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut adalah beberapa soal latihan turunan trigonometri yang bisa kamu kerjakan secara mandiri ataupun diskusi dengan teman.

Advertisements

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut!

1). \(y= 2x + \cos x\)

2). \(f(x) = 4x^{2} + \cot x\)

3). \(y= 2 \sin (3x) \)

4). \(y = 3 \cos (4x)\)

5). \(f(x) = 3x^{2} + \sin (5x) – 4 \cos (2x)\)

6). \(f(x) = 2x \sin x\)

7). \(f(x) = 3x^{2} \cos (2x)\)

8). \(y = \sin (2x) \cos (3x)\)

9). \(\displaystyle y= \frac{3x^{2}}{\cos x}\)

10). \(\displaystyle y= \frac{\cos 3x}{\cos 2x}\)

11). \(y = \sin x \cos x\)

12). \(y = \csc^{5} (x^{4} + 5)\)

13). \(y = \cos^{4} x\)

14). \(y = 5 \sin x \cos x\)

15). \(y = \sqrt{\sin x}\)

16). Jika \(f(x) = \sin x + \cos x +\tan x\), tentukanlah \(f'(0)\)!

Akhirnya selesai juga nulis artikel ini, pegel banget nulisnya. Semoga tulisan ini bermanfaat untuk banyak orang, khusunya kamu yang sekarang sedang membaca tulisan ini.

Itulah penjelasan lengkap contoh soal turunan fungsi trigonometri. Bagikan tulisan ini agar semakin banyak orang yang paham mengenai materi turunan fungsi trigonometri ini!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *