Menu

Definisi Trigonometri



Edumatik.Net – Pada artikel ini akan dibahas mengenai definisi trigonometri dan formula dasar perbandingan trigonometri secara mendalam. Trigonometri berasal dari bahasa Yunani yaitu trigonon (tiga sudut) dan metron (mengukur). Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari ilmu ukur sisi dan sudut suatu segitiga, dalam hal ini adalah segitiga siku-siku.

Pembahasan mengenai trigonometri erat kaitannya dengan Ukuran Sudut (Derajat, Radian, dan Putaran), jika Kamu belum membaca materi tersebut sebaiknya baca terlebih dahulu agar kedepannya Kamu tidak kesulitan dalam mempelajari materi trigonometri.

Perhatikan gambar diatas!
Sebelum mendefinisikan keenam perbandingan trigonometri, perlu diketahui bahwa sisi didepan sudut disebut dengan opposite (sisi depan), sisi disamping sudut  disebut dengan adjacent (sisi samping), sisi diatas sudut  disebut dengan hypotenuse (sisi miring). Agar lebih mudah, Kita akan menyingkatnya kedalam bahasa Indonesia, dimana sisi depan menjadi De, sisi samping menjadi Sa, dan sisi miring menjadi Mi. Keenam perbandingan trigonometri tersebut antara lain sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cotangen (cot), secan (sec), dan cosecan (csc).

Formula Dasar / Definisi Perbandingan Trigonometri

Berdasarkan gambar diatas, berikut adalah definisi dari perbandingan trigonometri.

\sin \theta = \dfrac {De}{Mi}= \dfrac {a}{c} .

\cos \theta = \dfrac {Sa}{Mi}= \dfrac {b}{c} .

\tan \theta = \dfrac {De}{Sa}= \dfrac {a}{b} .
\csc \theta = \dfrac {Mi}{De}= \dfrac {c}{a} .

\sec \theta = \dfrac {Mi}{Sa}= \dfrac {c}{b} .

\cot \theta = \dfrac {Sa}{De}= \dfrac {b}{a} .

Formula diatas wajib diingat sebab merupakan sebuah definisi.

Tips Mengingat Rumus

Coba deh perhatikan baik-baik rumus perbandingan trigonometri diatas. Kamu hanya perlu mengingat perbandingan dari sin, cos, dan tan karena yang lainnya merupakan kebalikannya.

Contoh: sin itu De dibagi Mi, sedangkan csc merupakan kebalikannya yaitu Mi dibagi De

Kamu hanya perlu mengingat (sin De Mi), (cos Sa Mi), (tan De Sa)

Setelah itu Kamu ingat hubungannya yaitu (sin dengan csc), (cos dengan sec), dan (tan dengan cot). Nah hubungan ini Saya namakan “Hubungan Pertama” dan harus selalu diingat, karena kedepannya akan banyak rumus lagi yang memerlukan “hubungan pertama” dalam mengingat rumus-rumusnya.

Gimana, gampang kan?

Formula Lain yang Harus Diingat

Meskipun formula ini bukan sebuah definisi akan tetapi formula ini sangatlah penting, dengan menginat formula ini Kamu akan semakin mudah dalam mempelajari trigonometri.

\tan \theta = \dfrac {\sin \theta}{\cos \theta} .

\cot \theta = \dfrac {\cos \theta}{\sin \theta} .
\csc \theta = \dfrac {1}{\sin \theta} .

\sec \theta = \dfrac {1}{\cos \theta} .

\cot \theta = \dfrac {1}{\tan \theta} .

Berikut adalah pembuktian rumusnya:

\tan \theta = \dfrac {a}{b} .

\tan \theta = \dfrac {a}{b} \times \dfrac {c}{c} .

\tan \theta = \dfrac {a}{c} \times \dfrac {c}{b} .

\tan \theta = \dfrac {\dfrac {a}{c}}{\dfrac {b}{c}} .

\tan \theta = \dfrac {\sin \theta}{\cos \theta} (terbukti)
\cot \theta = \dfrac {b}{a} .

\cot \theta = \dfrac {b}{a} \times \dfrac {c}{c} .

\cot \theta = \dfrac {b}{c} \times \dfrac {c}{a} .

\cot \theta = \dfrac {\dfrac {b}{c}}{\dfrac {a}{c}} .

\cot \theta = \dfrac {\cos \theta}{\sin \theta} (terbukti)

Gimana, paham? lanjuuutt

\csc \theta = \dfrac {c}{a} .

\csc \theta = \dfrac {c}{a} \times \dfrac {c}{c} .

\csc \theta = \dfrac {c}{c} \times \dfrac {c}{a} .

\csc \theta = \dfrac {\dfrac {c}{c}}{\dfrac {a}{c}} .

\csc \theta = \dfrac {1}{\sin \theta} (terbukti)
\sec \theta = \dfrac {c}{b} .

\sec \theta = \dfrac {c}{b} \times \dfrac {c}{c} .

\sec \theta = \dfrac {c}{c} \times \dfrac {c}{b} .

\sec \theta = \dfrac {\dfrac {c}{c}}{\dfrac {b}{c}} .

\sec \theta = \dfrac {1}{\cos \theta} (terbukti)

Terakhir nih, perhatikan!

\cot \theta = \dfrac {b}{a} .

\cot \theta = \dfrac {b}{a} \times \dfrac {b}{b} .

\cot \theta = \dfrac {b}{b} \times \dfrac {b}{a} .

\cot \theta = \dfrac {\dfrac {b}{b}}{\dfrac {a}{b}} .

\cot \theta = \dfrac {1}{\tan \theta} (terbukti)

Contoh:

1). Tentukan nilai perbandingan-perbandingan trigonometri untuk segitiga berikut!

Jawab:

\sin \theta = \dfrac {De}{Mi}= \dfrac {3}{5} .

\cos \theta = \dfrac {Sa}{Mi}= \dfrac {4}{5} .

\tan \theta = \dfrac {De}{Sa}= \dfrac {3}{4} .
\csc \theta = \dfrac {Mi}{De}= \dfrac {5}{3} .

\sec \theta = \dfrac {Mi}{Sa}= \dfrac {5}{4} .

\cot \theta = \dfrac {Sa}{De}= \dfrac {4}{3} .


2). Diberikan \sin \theta = \dfrac {5}{13} , dengan \theta adalah sudut lancip. Hitunglah \cos \theta, \tan \theta, dan \sec \theta. .

Jawab:

Diketahui \sin A=\dfrac {3}{5}, artinya De=3 dan Mi=5. Sisi samping bisa dicari dengan menggunakan pythagoras.

Sa=\sqrt {5^{2}-3^{2}} .

Sa=\sqrt {25-9} .

Sa=\sqrt {16} .

Sa=4 .


\cos \theta =\dfrac {Sa}{Mi}= \dfrac {4}{5} .

\tan \theta =\dfrac {De}{Sa}= \dfrac {3}{4} .

\sec \theta =\dfrac {Mi}{Sa}= \dfrac {5}{4} .


3). Apabila A sudut lancip, dan \cos A = \dfrac {3}{5} , tentukan nilai dari \dfrac {\sin A \tan A -1}{2 \tan^{2} A} !

Jawab:

Diketahui \cos A = \dfrac {3}{5} , artinya Sa=3 dan Mi=5. Dengan menggunakan rumus pythagoras didapatkan De=4

Sehingga \sin A = \dfrac {4}{5} dan \tan A = \dfrac {4}{3}

\dfrac {\sin A \tan A -1}{2 \tan^{2} A}= \dfrac {\left( \dfrac {4}{5} \times \dfrac {4}{3} \right) -1}{2 \times {\left( \dfrac{4}{3} \right)^{2}}} .

= \dfrac {\dfrac {16}{15} -1}{2 \times {\dfrac{16}{9}}} .

= \dfrac {\dfrac {16}{15} -\dfrac {15}{15}}{\dfrac{32}{9}} .

= \dfrac {\dfrac {1}{15}}{\dfrac{32}{9}} .

=\dfrac {1}{15} \times \dfrac{9}{32} .

=\dfrac {9}{480} .

=\dfrac {3}{160} .


4). Jika 5 \tan \theta =4, tentukanlah nilai dari \dfrac {5 \sin \theta - 3 \cos \theta}{5 \sin \theta + 2 \cos \theta} !

Jawab:

Diketahui 5 \tan \theta =4, maka \tan \theta = \dfrac {4}{5}

\tan \theta = \dfrac {De}{Sa} = \dfrac {4}{5} , artinya De=4, Sa=5. Dengan menggunakan pythagoras didapatkanlah Mi = \sqrt {41}

Sehingga \sin \theta = \dfrac {De}{Mi} = \dfrac {4}{\sqrt {41}} dan \cos \theta = \dfrac {Sa}{Mi}= \dfrac {5}{\sqrt{41}}

\dfrac {5 \sin \theta - 3 \cos \theta}{5 \sin \theta + 2 \cos \theta} = \dfrac {\left(5 \times \dfrac {4}{\sqrt {41}} \right) - \left(3 \times \dfrac{5}{\sqrt {41}} \right)}{\left(5 \times \dfrac {4}{\sqrt {41}} \right) + \left(2 \times \dfrac{5}{\sqrt {41}} \right)} .

= \dfrac {\dfrac {20}{\sqrt {41}} - \dfrac{15}{\sqrt {41}}}{\dfrac {20}{\sqrt {41}} + \dfrac{10}{\sqrt {41}}} .

= \dfrac {\dfrac {5}{\sqrt {41}}}{\dfrac {30}{\sqrt {41}}} .

= \dfrac {5}{\sqrt {41}} \times \dfrac {\sqrt{41}}{30} .

= \dfrac {5}{30} .

= \dfrac {1}{6} .


Nah itulah pembahasan Kita untuk definisi perbandibgan trigonometri. Jika artikel ini bermanfaat jangan lupa untuk share ke media sosial yang Kamu punya, dan jika Kamu ada pertanyaan silahkan komentar di kolom yang sudah disediakan.

Tags: , , , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

× 6 = 12

error: Jangan di Copy yaaa!!! :)