Definisi turunan fungsi dengan menggunakan limit.
sumber: freepik.com

Definisi Turunan Fungsi Aljabar

Posted on 3,652 views

Edumatik.Net – Apabila dalam benak kamu bertanya apa yang dimaksud turunan fungsi aljabar? Maka kamu sudah berada di tempat yang tepat, karena pada tulisan kali ini saya akan menjelaskan materi mengenai definisi turunan fungsi aljabar.

Sebelum membahas pengertian turunan fungsi aljabar lebih dalam sebaiknya kamu baca dulu tulisan sebelumnya yang berjudul pengantar turunan fungsi aljabar, karena tulisan tersebut erat kaitannya dengan definisi turunan fungsi aljabar.

Apa pengertian dari turunan?
Berikut ini adalah definisi turunan fungsi dengan menggunakan limit.

Jika titik \(Q\) bergerak mendekati titi \(P\) untuk \(h\) semakin kecil, maka gradien garis singgung di titik \(P\) disebut dengan turunan fungsi pada titik \(P\)

Nah sekarang kamu sudah tau kan definisi turunan secara matematis, semoga paham dengan definisi diatas. Selain definisi turunan dengan limit, di akhir tulisan ini akan diberikan juga rumus cepat turunan fungsi aljabar.

Notasi turunan atau simbol turunan suatu fungsi pada umumnya ada dua bentuk penulisan. Ada notasi Newton ada juga notasi Leibniz.

Notasi Newton: \(f'(x)\) atau \(y’\)

Notasi Leibniz: \(\displaystyle \frac{df(x)}{dx}\) atau \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)

Nah sekarang kita akan mencoba mencari turunan suatu fungsi, kita akan menjawabnya dengan menggunakan definisi. Setelah semuanya, kita akan coba jawab dengan rumus cepat turunan fungsi aljabar.

Berikut ini adalah contoh soal turunan fungsi aljabar dengan menggunakan definisi limit.

Tentukanlah turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut:

1). \(f(x) = 3\)

2). \(f(x) = x\)

3). \(f(x) = x^{2}\)

4). \(f(x) = x^{3}\)

5). \(f(x) = x^{2} + 2x -1\)

Kita akan menjawabnya dengan menggunakan definisi turunan fungsi aljabar.

Jawab No 1

Diketahui \(f(x) = 3\) dan \(f(x+h) = 3\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{3 – 3}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} 0 \\ &= 0 \end{aligned}\)

Jawab No 2

Diketahui \(f(x) = x\) dan \(f(x+h) = x+h\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) – (x)}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{x+h – x}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} 1 \\ &= 1 \end{aligned}\)

Jika kamu merasa bingung kenapa bisa seperti itu?
Sebaiknya baca dulu materi sifat-sifat limit, karena untuk memahami materi turunan fungsi aljabar kamu harus paham dulu materi prasyaratnya yaitu materi limit fungsi aljabar.

Jawab No 3

Diketahui \(f(x) = x^{2}\) dan \(f(x+h) = (x+h)^{2}\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{2} – (x^{2})}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x^{2} + 2xh +h^{2}) – (x^{2})}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + 2xh +h^{2} – x^{2}}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2xh +h^{2}}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h(2x +h)}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} (2x +h) \\ &= 2x +0 \\ &= 2x \end{aligned}\)

Jawab No 4

\(f(x) = x^{3}\)

\(\begin{aligned} f(x+h) &= (x+h)^{3} \\
&= x^{3} + 3x^{2}h + 3xh^{2} + h^{3} \end{aligned}\)

Sehingga

\(f(x+h) – f(x) = 3x^{2}h + 3xh^{2} + h^{3}\)

Jadi

\(\begin{aligned} f'(x) &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{3x^{2}h + 3xh^{2} + h^{3}}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h \left( 3x^{2} + 3xh^{1} + h^{2} \right)}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \left( 3x^{2} + 3xh^{1} + h^{2} \right) \\ &= 3x^{2} + 3x(0)^{1} + 0^{2} \\ &= 3x^{2} + 0 + 0 \\ &= 3x^{2} \end{aligned}\)

Jawab No 5

\(f(x) = x^{2} + 2x -1\)

\(\begin{aligned} f(x+h) &= (x+h)^{2} + 2(x+h) -1 \\
&= \left( x^{2} + 2xh +h^{2} \right) + (2x+2h) -1 \\
&= x^{2} + 2xh +h^{2} + 2x+2h -1 \end{aligned}\)

Sehingga

\(f(x+h) = x^{2} + 2xh +h^{2} + 2x+2h -1\)

dikurangi \(f(x) = x^{2} + 2x -1\)

Hasilnya

\(f(x+h) – f(x) = 2xh + h^{2} + 2h\)

Jadi

\(\begin{aligned} f'(x) &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^{2} + 2h}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h (2x + h + 2)}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} (2x + h + 2) \\ &= 2x + 0 + 2 \\ &= 2x + 2 \end{aligned}\)

Akhirnya selesai juga pembahasannya, lumayan panjang juga ya. Mudah-mudahan kamu paham dengan penjelasan saya. Nah berikutnya kita akan menemukan rumus cepat menyelesaikan turunan.

Dalam memahami cara menemukan rumus cepat turunan fungsi aljabar coba perhatikan pola dibawah ini.

\(\begin{aligned} &f(x) = 3 \to f'(x) = 0 \\
&f(x) = x \to f'(x) = 1 \\
&f(x) = x^{2} \to f'(x) = 2x \\
&f(x) = x^{3} \to f'(x) = 3x^{2} \\
&f(x) = 2x \to f'(x) = 2 \end{aligned}\)

Coba perhatikan pola turunan dari hasil definisi turunan menggunakan limit, pangkatnya selalu berkurang satu dan koefisiannya merupakan perkalian dengan pangkatnya.

Jadi, jika \(f(x) = ax^{n}\) maka \(f'(x) = n.ax^{n-1}\)

Berikut adalah contoh soal turunan fungsi aljabar menggunakan rumus cepat.

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut:

1). \(f(x) = 2x^{4}\)

Jawab

Diketahui \(a=2, n=4\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= n.ax^{n-1} \\
&= 4 . 2 x^{4-1} \\
&= 8x^{3} \end{aligned}\)

2). \(f(x) = x^{5}\)

Jawab

Diketahui \(a=1, n=5\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= n.ax^{n-1} \\
&= 5 . 1 x^{5-1} \\
&= 5x^{4} \end{aligned}\)

3). \(f(x) = \frac{1}{3}x^{3}\)

Jawab

Diketahui \(a= \frac{1}{3}, n=3\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= n.ax^{n-1} \\
&= 3 . \frac{1}{3} x^{3-1} \\
&= \frac{3}{3}x^{2} \\
&= x^{2} \end{aligned}\)

4). \(f(x) = 2x^{\frac{3}{2}}\)

Jawab

Diketahui \(a=2, n= \frac{3}{2}\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= n.ax^{n-1} \\
&= \frac{3}{2} . 2 x^{\frac{3}{2} -1} \\
&= 3 x^{\frac{3}{2} – \frac{2}{2}} \\
&= 3 x^{\frac{1}{2}} \end{aligned}\)

5). \(f(x) = 3x^{\frac{3}{5}}\)

Jawab

Diketahui \(a=3, n= \frac{3}{5}\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= n.ax^{n-1} \\
&= \frac{3}{5} . 3 x^{\frac{3}{5} -1} \\
&= \frac{9}{5} x^{\frac{3}{5} – \frac{5}{5}} \\
&= \frac{9}{5} x^{- \frac{2}{5}} \end{aligned}\)

Gimana? Lebih mudah kan pakai cara cepat?
Oh ya jika kamu gak percaya dengan hasilnya, coba aja cek sendiri dengan menggunakan cara definisi.

Nah karena udah tau konsep dasarnya, berarti gak apa-apa dong kita pakai rumus cepatnya. Jadi berikutnya kita akan pakai rumus cepat saja, biar gak panjang.

Itulah pembahasan definisi turunan fungsi limit beserta dengan contoh soalnya, berikutnya kita akan belajar aturan turunan. Jika tulisan ini bermanfaat silahkan bagikan, jangan lupa juga untuk memberikan bintang 5 yaa!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *