Identitas Trigonometri: Pembuktian Rumus dan Contoh Soal

Posted on
5/5 (3)

Edumatik.Net – Pada artikel ini akan dibahas mengenai identitas trigonometri lengkap dengan pembuktian rumus, contoh soal, dan pembahasannya. Ada tiga bentuk identitas trigonometri yang paling popler, diantaranya sebagai berikut:

Dibawah ini adalah pembuktian rumus identitas trigonometri, pelajarilah sampai benar-benar paham.

Berdasarkan gambar di atas, sisi di depan sudut \(\theta\) adalah \(y\), sisi di samping sudut \(\theta\) adalah \(x\), dan sisi miringnya adalah \(r\). Sehingga didapatkan  rumusan sebagai berikut:

\(\sin \theta = \frac {y}{r} \rightarrow y = r \sin \theta\)

\(\cos \theta = \frac {x}{r} \rightarrow x = r \cos \theta\)

Dengan menggunakan teorema pythagoras, didapatkanlah rumusan seperti dibawah ini.

\(x^{2} + y^{2} = r^{2}\)

\(\left( r \cos \theta \right)^{2} + \left( r \sin \theta \right)^{2} =r^{2}\)

\(\left( r^{2} \cos^{2} \theta \right) + \left( r^{2} \sin^{2} \theta \right) = r^{2}\) Selanjutnya bagi kedua ruas dengan \(r^{2}\)

\(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1\)

\(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1\) <terbukti>

\(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1\) bagi kedua ruas dengan \(\cos^{2} \theta\)

\(\frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} + \frac {\cos^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} = \frac {1}{\cos^{2} \theta}\)

\(\tan^{2} \theta + 1 = \sec^{2} \theta\) <terbukti>

\(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1\) bagi kedua ruas dengan \(\sin^{2} \theta\)

\(\frac{\sin^{2} \theta}{\sin^{2} \theta} + \frac {\cos^{2} \theta}{\sin^{2} \theta} = \frac {1}{\sin^{2} \theta}\)

\(1 + \cot \theta = \csc \theta\)

\(\cot \theta + 1 = \csc \theta\) <terbukti>

Contoh:

1). Tentukan bentuk sederhana dari \(\frac {1 – \cos^{2} t}{\sin t}\)

Jawab:

\(\frac {1 – \cos^{2} t}{\sin t} = \frac {\sin^{2} t}{\sin t} = \sin t\)

2). Buktikan \(\frac {\sin^{2} \alpha – \sin^{2} \beta}{\cos^{2} \alpha . \cos^{2} \beta} = \tan^{2} \alpha – \tan^{2} \beta\)

Jawab:

\(\frac {\sin^{2} \alpha – \sin^{2} \beta}{\cos^{2} \alpha . \cos^{2} \beta}\)

\(= \left( \frac {\sin^{2} \alpha}{\cos^{2} \alpha . \cos^{2} \beta} \right) – \left( \frac {\sin^{2} \beta}{\cos^{2} \alpha . \cos^{2} \beta} \right)\)

\(= \left( \frac {\sin^{2} \alpha}{\cos^{2} \alpha} \times \frac {1}{\cos^{2} \beta} \right) – \left( \frac {1}{\cos^{2} \alpha} \times \frac {\sin^{2} \beta}{\cos^{2} \beta} \right)\)

\(= (\tan^{2} \alpha . \sec^{2} \beta)-(\sec^{2} \alpha . \tan^{2} \beta)\)

\(= (\tan^{2} \alpha (\tan^{2} \beta + 1)) – ((\tan^{2} \alpha + 1) \tan^{2} \beta)\)

\(= (\tan^{2} \alpha \tan^{2} \beta + \tan^{2} \alpha) – (\tan^{2} \alpha \tan^{2} \beta + \tan^{2} \beta)\)

\(= \tan^{2} \alpha \tan^{2} \beta + \tan^{2} \alpha – \tan^{2} \alpha \tan^{2} \beta – \tan^{2} \beta)\)

\(= \tan^{2} \alpha – \tan^{2} \beta\)

3). Tentukan bentuk sederhana dari \(\frac {\sin x \cos x}{\tan x}\)!

Jawab:

\(\frac {\sin x \cos x}{\tan x}\)

\(= \frac {\sin x \cos x}{\frac{\sin x}{\cos x}}\)

\(= \sin x \cos x \times \frac {\cos x}{\sin x}\)

\(= \cos^{2} x\)

4). Diketahui \(\tan \beta = 5\), tentukanlah nilai dari \(\frac {\sin^{2} \beta}{\cos^{2} \beta}\) !

Jawab:

\(\frac {\sin^{2} \beta}{\cos^{2} \beta} = \tan^{2} \beta = 5^{2} = 25\)

5). Tentukan nilai dari \(\left( \sin \alpha + \cos \alpha \right)^{2} + \left( \sin \alpha – \cos \alpha \right)^{2}\) !

Jawab:

\(\left( \sin \alpha + \cos \alpha \right)^{2} + \left( \sin \alpha – \cos \alpha \right)^{2}\)

\(= \left( \sin^{2} \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^{2} \alpha \right) + \left( \sin^{2} \alpha – 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^{2} \alpha \right)\)

\(= \sin^{2} \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha – 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^{2} \alpha\)

\(= \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha\)

\(= \left( \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha \right) + \left( \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha \right)\)

\(= 1 + 1\)

\(= 2\)


6). Buktikan \(\tan A \sin A + \cos A = \sec A\) !

Jawab:

\(\tan A \sin A + \cos A\)

\(= \frac {\sin A}{\cos A} \sin A + \cos A\)

\(= \frac {\sin^{2} A}{\cos A} + \cos A\)

\(= \frac {\sin^{2} A + \cos^{2} A}{\cos A}\)

\(= \frac {1}{\cos A}\)

\(= \sec A\)


7). Buktikan \((\tan x + \cot x) \cos^{2} x = \cot x\)

Jawab:

\((\tan x + \cot x) \cos^{2} x = \cot x\)

\(= \left( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac {\cos x}{\sin x} \right) \cos^{2} x\)

\(= \left( \frac {\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\cos x \sin x} \right) \cos^{2} x\)

\(= \left( \frac {1}{\cos x \sin x} \right) \cos^{2} x\)

\(= \frac {\cos^{2} x}{\cos x \sin x}\)

\(= \frac {\cos x}{\sin x}\)

\(= \cot x\)

Oke itulah pembahasan lengkap mengenai identitas trigonometri, semoga Kamu paham dengan apa yang Saya sampaikan. Setelah tulisan ini Kamu bisa belajar materi aturan sinus dan aturan cosinus. Oh ya seperti biasa, jika tulisan ini bermanfaat silahkan share kesemua media sosial Kamu, see you . . .

Beri nilai tulisan ini!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

9 × 1 =