Integral tak tentu contoh soal

Integral Tak Tentu Contoh Soal

Posted on 42 views

Edumatik.Net – Contoh soal integral tak tentu yang akan aku bahas dibawah ini ada beberapa variasi. Mulai dari integral tak tentu bentuk sederhana, pecahan, sampai dengan integral bentuk akar.

Integral tak tentu contoh soal ini merupakan kelanjutan dari dua artikel sebelumnya yaitu definisi integral dan juga sifat integral. Ada baiknya kamu pahami dulu kedua materi tersebut, biar gak bingung saat membahas soal nanti.

Advertisements

1. Contoh Soal Integral Tak Tentu Sederhana

Kita akan mulai dari yang gampang dulu yaitu contoh soal integral fungsi aljabar dengan bentuk sederhana.

1). Tentukan hasil pengintegralan dari fungsi-fungsi berikut!

a. \(f(x) = 3x^{5}\)
b. \(f(x) = 2x + 4x^{3} – 5\)
c. \(f(x) = 3x (x^{2} +3)\)
d. \(f(x) = (2x-1)^{2}\)

Advertisements

Jawab No 1a

Ingat definisi integralnya, kalau ada \(\color{red}{f(x) = ax^{n}}\) maka \(\displaystyle \color{red}{\int{f(x)} dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + C}\).

\(f(x) = 3x^{5}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} F(x) &= \int{f(x)} dx \\ &= \int{3x^{5}} dx \\ &= \frac{3}{5+1} x^{5+1} + C \\ &= \frac{3}{6} x^{6} + C \\ &= \frac{1}{3} x^{6} + C \end{aligned}\)

Gampang kan?
Selanjutnya aku gak akan menguraikan dengan cara definisi, aku anggap kamu udah paham definisinya. Jadi aku akan langsung aja ke hasil pengintegralannya, karena udah ada dua artikel yang kita bahas dengan cara definisi. Oke!

Jawab No 1b

\(f(x) = 2x + 4x^{3} – 5\)

\(\displaystyle \begin{aligned} F(x) &= \int{f(x)} dx \\ &= \int{(2x + 4x^{3} – 5)} dx \\ &= x^{2} + x^{4} – 5x + C \end{aligned}\)

Jawab No 1c

\(f(x) = 3x (x^{2} +3)\)

\(\displaystyle \begin{aligned} F(x) &= \int{f(x)} dx \\ &= \int{3x (x^{2} +3)} dx \\ &= \int{(3x^{3} +9x)} dx \\ &= \frac{3}{4}x^{4} +\frac{9}{2} x^{2} + C \end{aligned}\)

Jawab No 1d

\(f(x) = (2x-1)^{2}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} F(x) &= \int{f(x)} dx \\ &= \int{(2x-1)^{2}} dx \\ &= \int{(4x^{2} – 4x + 1)} dx \\ &= \frac{4}{3} x^{3} – 2x^{2} + x + C \end{aligned}\)

2). Diketahui \(f'(x) = 8x-5\) dan \(f(1) = 2\), tentukanlah fungsi \(f(x)\)!

Jawab

Hati-hati dengan simbol. \(f'(x)\) adalah turunan, sedangkan \(f(x)\) fungsi utama sebelum diturunkan atau bisa kita sebut \(F(x)\)

\(\displaystyle \begin{aligned} f(x) &= \int{f'(x)} dx \\ &= \int{(8x-5)} dx \\ f(x) &= 4x^{2} – 5x + C \end{aligned}\)

\(f(1) = 2\)

\(\begin{aligned} f(x) &= 4x^{2} – 5x + C \\ f(1) &= 4(1)^{2} – 5(1) + C \\ 2 &= 4(1) – 5(1) + C \\ 2 &= 4 – 5 + C \\ 3 &= C \end{aligned}\)

Jadi \(f(x) = 4x^{2} – 5x + 3\)

2. Contoh Soal Integral Tak Tentu Pecahan

Oke berikutnya adalah contoh soal integral tak tentu pecahan atau bisa juga disebut contoh soal integral fungsi rasional.

Simak baik-baiknya!
Inilah dia contoh soal integral fungsi rasional dan jawabannya.

Tentukan hasil pengintegralan dari fungsi-fungsi berikut!

1). \(\displaystyle f(x) = \frac{3}{x^{5}}\)

2). \(\displaystyle f(x) = \frac{6x^{4} + 3x^{3} – 2x}{x^{3}}\)

3). \(f(x) = x^{-3} – 4x^{-2} + 7\)

4). \(\displaystyle f(x) = \frac{x^{2} – 2x -3}{x-3}\)

5). \(\displaystyle f(x) = \frac{3x-4}{x^{2}}\)

Advertisements

Jawab No 1

\(\displaystyle f(x) = \frac{3}{x^{5}}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} F(x) &= \int{f(x)} dx \\ &= \int{\left( \frac{3}{x^{5}} \right)} dx \\ &= \int{(3x^{-5})} dx \\ &= \frac{3}{-5+1} x^{-5+1} \\ &= \frac{3}{-4} x^{-4} \\ &= – \frac{3}{4x^{4}} + C \end{aligned}\)

Jawab No 2

\(\displaystyle f(x) = \frac{6x^{4} + 3x^{3} – 2x}{x^{3}}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} F(x) &= \int{f(x)} dx \\ &= \int{\left( \frac{6x^{4} + 3x^{3} – 2x}{x^{3}} \right)} dx \\ &= \int{\left( \frac{6x^{4}}{x^{3}} + \frac{3x^{3}}{x^{3}} – \frac{2x}{ x^{3}} \right)} dx \\ &= \int{\left( 6x+ 3 – \frac{2}{x^{2}} \right)} dx \\ &= 3x^{2} + 3x – \left( – \frac{2}{x} \right) \\ &= 3x^{2} + 3x + \frac{2}{x} + C \end{aligned}\)

Jawab No 3

\(f(x) = x^{-3} – 4x^{-2} + 7\)

\(\displaystyle \begin{aligned} F(x) &= \int{f(x)} dx \\ &= \int{\left( x^{-3} – 4x^{-2} + 7 \right)} dx \\ &= \frac{1}{-2} x^{-2} – \left( \frac{4}{-1}x^{-1} \right) + 7x \\ &= -\frac{1}{2x^{2}} – \left(- \frac{4}{x} \right) + 7x \\ &= -\frac{1}{2x^{2}} + \frac{4}{x} + 7x + C \end{aligned}\)

Jawab No 4

\(\displaystyle f(x) = \frac{x^{2} – 2x -3}{x-3}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} F(x) &= \int{f(x)} dx \\ &= \int{\left( \frac{x^{2} – 2x -3}{x-3} \right)} dx \\ &= \int{\left( \frac{(x -3)(x+1)}{(x-3)} \right)} dx \\ &= \int{(x+1)} dx \\ &= \frac{1}{2} x^{2} + x + C \end{aligned}\)

Jawab No 5

\(\displaystyle f(x) = \frac{3x-4}{x^{2}}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} F(x) &= \int{f(x)} dx \\ &= \int{\left( \frac{3x-4}{x^{2}} \right)} dx \\ &= \int{\left( \frac{3x}{x^{2}} – \frac{4}{x^{2}} \right)} dx \\ &= \int{\left( \frac{3}{x} – \frac{4}{x^{2}} \right)} dx \\ &= 3 \ln |x| – \left( – \frac{4}{x} \right) \\ &= 3 \ln |x| + \frac{4}{x} + C \end{aligned}\)

3. Contoh Soal Integral Tak Tentu Akar

Terakhir adalah contoh soal integral fungsi aljabar bentuk akar, kamu masih ingat kan bentuk akar itu bisa diubah menjadi bentuk eksponen?
Seperti ini bentuk perubahannya, \(\color{red}{\sqrt[n]{x^{m}} = x^{\frac{m}{n}}}\) .

Masih ingat kan?
Nah disini kita akan meggunakan rumusan itu untuk menyelesaikan soal integral tak tentu yang berbentuk akar.

Tentukanlah anti turunan dari fungsi-fungsi berikut ini:

1). \(f(x) = \sqrt[5]{x^{2}}\)

2). \(f(t) = (t + \sqrt{2t})^{2}\)

3). \(f(x) = x^{2} \sqrt[7]{x^{5} \sqrt[5]{x^{3}}}\)

Jawab No 1

\(f(x) = \sqrt[5]{x^{2}}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} F(x) &= \int{f(x)} dx \\ &= \int{(\sqrt[5]{x^{2}})} dx \\ &= \int{(x^{\frac{2}{5}})} dx \\ &= \frac{1}{\frac{2}{5} + 1} x^{\frac{2}{5} + 1} \\ &= \frac{1}{\frac{2}{5} + \frac{5}{5}} x^{\frac{2}{5} + \frac{5}{5}} \\ &= \frac{1}{\frac{7}{5}} x^{\frac{7}{5}} \\ &= \frac{5}{7} x^{\frac{7}{5}} + C \end{aligned}\)

Jawab No 2

\(f(t) = (t + \sqrt{2t})^{2}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} F(t) &= \int{f(t)} dt \\ &= \int{(t+ \sqrt{2t})^{2}} dt \\ &= \int{(t^{2} + 2t \sqrt{2t} + 2t)} dt \\ &= \int{(t^{2} + 2t \sqrt{2} \sqrt{t}+ 2t)} dt \\ &= \int{(t^{2} + 2 \sqrt{2} .t.t^{\frac{1}{2}}+ 2t)} dt \\ &= \int{(t^{2} + 2 \sqrt{2} t^{\frac{3}{2}}+ 2t)} dt \\ &= \frac{1}{3} t^{3} + \frac{2 \sqrt{2}}{\frac{5}{2}} t^{\frac{5}{2}} + t^{2} \\ &= \frac{1}{3} t^{3} + \frac{4 \sqrt{2}}{5} t^{\frac{5}{2}} + t^{2} + C \end{aligned}\)

Jawab No 3

\(f(x) = x^{2} \sqrt[7]{x^{5} \sqrt[5]{x^{3}}}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} F(x) &= \int{f(x)} dx \\ &= \int{\left( x^{2} \sqrt[7]{x^{5} \sqrt[5]{x^{3}}} \right)} dx \\ &= \int{\left( x^{2} \sqrt[7]{x^{5} . x^{\frac{3}{5}}} \right)} dx \\ &= \int{\left( x^{2} \sqrt[7]{x^{5 + \frac{3}{5}}} \right)} dx \\ &= \int{\left( x^{2} \sqrt[7]{x^{\frac{28}{5}}} \right)} dx \\ &= \int{\left( x^{2} . x^{\frac{\frac{28}{5}}{7}} \right)} dx \\ &= \int{\left( x^{2} . x^{\frac{28}{5} . \frac{1}{7}} \right)} dx \\ &= \int{\left( x^{2} . x^{\frac{4}{5}} \right)} dx \\ &= \int{\left( x^{2 + \frac{4}{5}} \right)} dx \\ &= \int{\left( x^{\frac{14}{5}} \right)} dx \\ &= \frac{5}{19} x^{\frac{19}{5}} + C \end{aligned}\)

Itulah pembahasan integral tak tentu contoh soal, semoga kamu paham dengan apa yang aku sampaikan. Nah untuk mengecek pemahaman kamu, cobain jawab pertanyaan-pertanyaan yang udah aku siapin.

4. Soal Latihan Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Kalau kamu ingin menguasai soal-soal integral fungsi aljabar sering-seringlah mengerjakan soal, jadi cobalah kerjakan soal-soal yang udah aku siapin yaa..!!

Advertisements

1). Carilah anti turunan dari fungsi-fungsi berikut ini:

a. \(f(x) = 4x^{7} -2x\)
b. \(f(t) = t (2-3t)\)
c. \(f(t) = (t^{2} -4)^{2}\)
d. \(f(x) = \frac{x^{6} – x}{x^{3}}\)
e. \(f(x) = \frac{-3x^{-2} + 5 x^{5}}{2x}\)
f. \(f(x) = \frac{x^{2} +2x -35}{x-5}\)
g. \(f(t) = \frac{2t^{2}+3t-2}{t+2}\)
h. \(f(x) = \frac{4x + 2 x^{2}}{x^{2}}\)
i. \(f(x) = \sqrt[4]{x^{3}}\)
j. \(f(t) = t^{-3} + \sqrt{t^{6}}\)
k. \(f(x) = \sqrt[5]{x^{2} \sqrt{x}}\)

2). Diketahui \(f'(x) = 6x^{2} -2x +1\) dan \(f(2) = 4\). Tentukanlah nilai \(f(x)\)!

3). Fungsi \(y = f(x)\) mempunyai turunan kedua \(f”(x) = 12 x^{2} – 2\). Untuk \(x=0\), fungsi \(f(x)\) bernilai \(-5\). Jika \(f(2) = 7\), tentukanlah \(f(x)\)!

Udah tiga soal aja ya! wkwkw
(Gile 3 soal tapi beranak)
Udah jangan banyak protes, kalau mau bisa kerjakan! Kalau gak mau juga gak papa.
(Iya siap komandan)
Nah gitu dooong hahaha

Lengkap sudah pembahasan integral tak tentu contoh soal, mulai dari yang sederhana sampai ke yang lebih kompleks. Kalau suka dengan pembahasannya jangan lupa untuk kasih bintang 5, berikutnya kita akan belajar teknik integral substitusi. Bagikan tulisan ini jika bermanfaat!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *