Pembahasan lengkap kecekungan fungsi dan titik belok fungsi.
sumber: freepik.com

Kecekungan dan Titik Belok

Posted on 97 views

Edumatik.Net – Agar bisa memahami materi kecekungan dan titik belok sebaiknya kamu pahami dulu materi sebelumnya mengenai kemonotonan fungsi, karena disitu dijelaskan bagaimana suatu fungsi bisa naik dan turun.

Apa yang dimaksud kecekungan fungsi?
Suatu fungsi dikatakan cekung ke atas jika turunan pertama dari fungsi tersebut naik, cekung ke bawah jika turunan pertama dari fungsi tersebut turun pada suatu interval terbuka.

Ilustrasi mudahnya untuk mengingat kecekungan fungsi yaitu dengan membayangkan mangkuk sebagai cekung ke atas dan mangkuk terbalik sebagai cekung ke bawah.

Adapun definisi lebih formal dari kecekungan adalah sebagai berikut.

Definisi Formal Kecekungan Fungsi
Andaikan \(f\) terdiferensial pada selang terbuka \(I =(a, b)\). Jika \(f’\) naik pada \(I\), maka \(f\) dan grafiknya cekung ke atas. Jika \(f’\) turun pada \(I\), maka \(f\) dan grafiknya cekung ke bawah.

Biar kamu lebih paham lagi bedanya cekung ke atas dan ke bawah, perhatikan contoh kecekungan grafik fungsi berikut!

Soal kecekungan fungsi biasanya menanyakan pada saat interval berapa suatu fungsi tertentu cekung. Agar lebih mudah ada sebuah teorema kecekungan yang harus kita gunakan, teorema ini mirip dengan teorema kemonotonan yang sudah kita bahas sebelumnya.

Teorema Kecekungan Fungsi
Andaikan \(f\) terdiferensial dua kali pada selang terbuka \((a, b)\).
(i). Jika \(f”(x) > 0\) untuk semua \(x\) dalam \((a, b)\) maka \(f\) cekung ke atas pada \((a, b)\)
(ii). Jika \(f”(x) < 0\) untuk semua \(x\) dalam \((a, b)\) maka \(f\) cekung ke bawah pada \((a, b)\)

Sekarang kita coba gunakan teorema kecekungan tersebut untuk menyelesaikan soal. Berikut ini adalah contoh soal kecekungan fungsi dan pembahasannya, simak baik-baik yaa!

Contoh Soal Kecekungan Fungsi

Pada interval berapakah fungsi \(f\) naik, turun, cekung ke atas, cekung ke bawah apabila diketahui \(f(x)= \frac{1}{3} x^{3} – x^{2} – 3x + 4\)

Jawab:

Untuk menjawab naik dan turun kita membutuhkan turunan pertama, seperti yang sudah dibahas pada materi kemonotonan.

Untuk menjawab cekung ke atas dan ke bawah kita membutuhkan turunan kedua, seperti teorema diatas.

\(f(x)= \frac{1}{3} x^{3} – x^{2} – 3x + 4\)

\(f'(x) = x^{2} – 2x- 3\)

\(f”(x) = 2x – 2\)

Pencarian Interval Naik dan Turun

\(\begin{aligned} f'(x) &= 0 \\ x^{2} – 2x- 3 &= 0 \\ (x-3)(x+1) &= 0 \end{aligned}\)

\(x-3 =0 \to x=3\)
\(x+1 =0 \to x=-1\)

Ambil sembarang titik untuk menguji apakah positif atau negatif pada interval tersebut. Misalkan ambil \(x=0\) kemudian masukan ke turunan pertama.

\(\begin{aligned} f'(x) &= x^{2} – 2x- 3 \\ f'(0) &= 0^{2} – 2(0) – 3 \\ &= -3 \end{aligned}\)

Hasilnya negatif, artinya interval yang memuat titik \(x=0\) adalah interval negatif. Sedangkan yang lainnya positif secara berselang-seling.

Kesimpulan: Pada interval \(( – \infty, -1 ]\) naik, interval \([ -1, 3 ]\) turun, dan interval\([ 3, \infty)\) naik lagi.

Pencarian Interval Kecekungan

\(f”(x) =0\)

\(2x – 2= 0 \to x=1\)

Sama seperti turunan pertama, ambil sembarang titik untuk menguji apakah positif atau negatif pada interval tersebut. Misalkan ambil \(x=3\) kemudian masukan ke turunan kedua.

\(\begin{aligned} f”(x) &= 2x – 2 \\ f”(3) &= 2(3)-2 \\ &= 6-2 \\ &= 4 \end{aligned}\)

Hasilnya positif, artinya interval yang memuat titik \(x=3\) adalah interval negatif. Sedangkan yang lainnya positif.

Note: Hati-hati saat uji positif/negatif pada turunan kedua, terkadang kedua-duanya positif atau kedua-duanya negatif. Biasanya terjadi pada fungsi yang berderajat genap, oleh karena itu harus diuji pada semua interval.

Sesuai teorema kecekungan bahwa interval yang bertanda positif alias lebih besar dari nol adalah interval yang cekung ke atas dan sebaliknya.

Kesimpulan: Pada interval \(( – \infty, 1)\) fungsi \(f\) cekung ke bawah, dan pada interval \(( 1, \infty)\) fungsi \(f\) cekung ke atas.

Sebagai ilustrasi agar mudah dipahami, berikut adalah gambar grafik fungsi \(f(x)= \frac{1}{3} x^{3} – x^{2} – 3x + 4\)

Gimana, sudah ada bayangan kan mengenai materi kecekungan?
Jika belum, coba deh baca lagi secara perlahan! Selanjutnya yang akan kita pelajari adalah titik belok fungsi.

Titik Belok Fungsi

Apa yang dimaksud dengan titik belok fungsi?
Sebuah titik dikatakan titik belok jika sebelah kiri titik tersebut cekung ke atas sedangkan sebelah kanannya cekung ke bawah, atau sebaliknya sebelah kiri cekung ke bawah sebelah kanan cekung ke atas.

Adapun definisi formal titik belok turunan fungsi adalah sebagai berikut.

Jika \(f\) kontinu di \(c\). Kita sebut \((c, f(c))\) adalah suatu titik belok dari grafik \(f\) jika \(f\) cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari \(c\).

Untuk memudahkan kamu dalan memahami titik belok turunan fungsi perhatikanlah contoh-contoh dimana titik belok terjadi.

Dari gambar di atas, biasanya titik belok terjadi pada saat \(f”(x)=0\) atau \(f”(x)\) tidak ada.

Meyambung note diatas bahwa harus hati-hati saat pengujian positif/negatif pada turunan kedua. Bisa saja titik pada saat \(f”(x)=0\) tidak bisa menjadi titik belok, contoh kasus seperti fungsi \(f(x)= x^{2}\), \(f(x)= x^{4}\), dan lain sebagainya.

Kenapa tidak ada titik belok pada fungsi tersebut? Karena kedua sisi cekung ke atas. Kita sama-sama tau bahwa yang namanya titik belok kedua sisinya harus berbeda.

Biar langsung paham kita mulai dengan contoh soal titik belok. Kita gunakan contoh soal di atas yaa.

Contoh Soal Titik Belok Turunan Fungsi

Tentukan titik belok pada fungsi berikut!
\(f(x)= \frac{1}{3} x^{3} – x^{2} – 3x + 4\)

Jawab:

\(f”(x) = 2x – 2\)

Buatlah \(f”(x) =0\) untuk mencari titik belok.

\(\begin{aligned} f”(x) &=0 \\ 2x-2 &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned}\)

Karena titik belok itu merupakan pasangan berurut \((c, f(c))\), maka masukanlah \(x=1\) ke fungsi \(f(x)\).

\(\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{3} x^{3} – x^{2} – 3x + 4 \\
f(1) &= \frac{1}{3} (1)^{3} – (1)^{2} – 3(1) + 4 \\
&= \frac{1}{3} – 1 – 3 + 4 \\
&= \frac{1}{3} \end{aligned}\)

Jadi titik beloknya adalah \(\left(1, \frac{1}{3} \right)\)

Sekali lagi saya ingatkan, untuk mengetahui benar tidaknya titik tersebut merupakan titik belok kamu harus cek kecekungan sebelah kiri dan kanannya. Jika berbeda, maka benar bahwa titik \(\left(1, \frac{1}{3} \right)\) merupakan titik belok.

Untuk contoh soal ini untungnya di atas sudah di cek dan sudah ada grafiknya, jadi kita tidak perlu cek lagi.

Kenapa panjang sekali penyelesaiannya? Karena saya sambil menjelaskan, sebenarnya penyelasaiannya tidak sepanjang ini kok. Kita akan coba pada satu soal lagi dari awal. Siap?

Diketahui suatu fungsi \(f(x) = x^{3} – 2x^{2} + x + 1\). Tentukanlah naik, turun, titik stasioner, cekung ke atas, cekung ke bawah, titik belok, dan gambarkan grafik fungsinya.

Jawab:

\(f(x) = x^{3} – 2x^{2} + x + 1\)

\(f'(x) = 3x^{2} – 4x +1\)

\(f”(x) = 6x- 4\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= 0 \\ 3x^{2} – 4x +1 &=0 \\
\frac{1}{3} (3x -3)(3x-1) &=0 \\
(x -1)(3x-1) &=0 \end{aligned}\)

\(x-1=0 \to x = 1\)
\(3x-1=0 \to x= \frac{1}{3}\)

Uji interval misalnya ambil \(x=0\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= 3x^{2} – 4x +1 \\ f'(0) &= 3(0)^{2} – 4(0) +1 \\ &= 0 – 0 +1 \\ &= 1 \end{aligned}\)

Hasilnya positif, negatif untuk lainnya secara berselang seling.

Kesimpulan: titik stasioner adalah \(\frac{1}{3}\) dan \(1\), naik pada interval \((- \infty, \frac{1}{3}]\) dan \([1, \infty)\), dan turun pada interval \([\frac{1}{3}, 1]\).

\(\begin{aligned} f”(x) &= 0 \\ 6x- 4 &= 0 \\ x &= \frac{4}{6} \\ x &= \frac{2}{3} \end{aligned}\)

Uji interval misal ambil \(x=0\) untuk kiri dan \(x=1\) untuk sebelah kanan.

\(\begin{aligned} f”(x) &= 6x- 4 \\ f”(0) &= 6(0) – 4 \\ &= 0-4 \\ &= -4 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} f”(x) &= 6x- 4 \\ f”(1) &= 6(1) – 4 \\ &= 6-4 \\ &= 2 \end{aligned}\)

Sebelah kiri negatif dan sebelah kanan positif.

Kesimpulan: Cekung ke bawah pada interval \((- \infty, \frac{2}{3})\) dan cekung ke atas pada interval \((\frac{2}{3}, \infty)\).

Dikarenakan kiri dan kanan nya berbeda, maka benar bahwa \(\frac{2}{3}\) merupakan titik belok, sekarang cari \(f \left( \frac{2}{3} \right)\) nya.

\(\begin{aligned} f(x) &= x^{3} – 2x^{2} + x + 1 \\
f \left( \frac{2}{3} \right) &= \left( \frac{2}{3} \right)^{3} – 2\left( \frac{2}{3} \right)^{2} + \left( \frac{2}{3} \right) + 1 \\
&= \frac{8}{27} – \frac{8}{9} + \frac{2}{3} + 1 \\
&= \frac{8-24+18+27}{27} \\
&= \frac{29}{27} \end{aligned}\)

Kesimpulan: Jadi titik beloknya adalah \(\left( \frac{2}{3}, \frac{29}{27} \right)\).

Berikut adalah ilustrasi grafik dari fungsi \(f(x) = x^{3} – 2x^{2} + x + 1\).

Itulah pembahasan materi kecekungan fungsi dan titik belok fungsi beserta contoh soalnya. Silahkan bagikan tulisan ini apabila dirasa bermanfaat, kasih bintang bagus yaa. Apabila masih belum paham cobalah baca dan pahami secara perlahan!

0 0 vote
Article Rating
Beri tahu saya!
Notifikasi
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments