Contoh soal dan pembahasan kemonotonan fungsi.
sumber: freepik.com

Kemonotonan Fungsi dan Contoh Soal

Posted on 2,054 views

Edumatik.Net – Kemonotonan fungsi adalah salah satu materi yang termasuk kedalam penggunaan turunan (pada buku kalkulus edisi 5 jilid 1). Materi ini digunakan untuk melihat naik turunya suatu grafik fungsi.

Kemonotonan grafik fungsi akan mudah dipahami jika kamu sudah mengenal materi selang/interval. Soal kemonotonan fungsi biasanya menanyakan pada interval berapa fungsi tersebut naik dan pada interval berapa fungsi tersebut turun.

Kemonotonan fungsi sederhananya seperti ini, suatu fungsi dikatakan monoton jika fungsi tersebut naik terus ataupun turun terus pada suatu selang/interval.

Agar mudah memahami konsep kemonotonan fungsi, simaklah gambar dan pembahasan berikut.

Diatas adalah grafik dari fungsi \(y = x^{2}\), dapat dilihat bahwa grafik tersebut turun pada interval \(– \infty < x < 0\) dan naik pada interval \(0 < x < \infty\).

Pertanyaan yang muncul adalah jika diketahui hanya bentuk fungsinya (tanpa ada gambar) bagaimana cara menentukan interval naik dan turunnya?

Jika harus digambar dulu pastinya akan ribet dan panjang bukan?
Nah untuk menyelesaikan kasus ini, kita akan menggunakan konsep turunan. Coba perhatikan contoh konsep kemonotonan fungsi dibawah ini.

Perhatikan gambar diatas!
Fungsi \(f(x)\) naik ketika garis-garis singgung miring ke kanan dan \(f(x)\) turun ketika garis-garis singgung miring ke kiri.

Seperti yang kita tahu bahwa garis singgung yang miring ke kanan mempunyai gradien positif \((+)\) dan yang miring ke kiri mempunyai gradien negatif \((-)\).

Artinya untuk mengetahui dimana sebuah fungsi naik dan turun yaitu dengan melihat tanda positif dan negatif dari gradien garis singgung, untuk menentukan nilai gradien sebuah fungsi yaitu dengan turunan pertama. Nah dari situasi ini munculah sebuah teorema, namanya teorema kemonotonan.

Teorema Kemonotonan
Andaikan \(f\) kontinu pada interval \(I\) dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari \(I\).
(i). Jika \(f'(x) > 0\) untuk semua titik dalam \(x\) dari \(I\), maka \(f\) naik pada \(I\).
(ii). Jika \(f'(x) < 0\) untuk semua titik dalam \(x\) dari \(I\), maka \(f\) turun pada \(I\).

Kalau kamu pusing dengan teorema komonotonan diatas, agar mudah dipahami simpelnya seperti ini “fungsi akan naik jika turunan pertamanya lebih besar dari nol \((+)\) dan fungsi akan turun jika turunan pertamanya lebih kecil dari nol \((-)\)”.

Kita kembali lagi ke fungsi \(y=x^{2}\) diatas. Kita akan selesaikan dengan teorema kemonotonan tersebut.

\(y=x^{2}\)

\(y’ =2x\)

Selanjutnya kita cari batas-batas gradien dengan cara turunan pertama dibuat sama dengan nol.

Kenapa dibuat sama dengan nol?
Karena kita tahu bahwa pada puncak/lembah suatu grafik pasti garis singgungnya berupa garis horizontal, yang mana pada kondisi tersebut garis mempunyai gradien nol. Artinya pada saat gradien nol sebuah fungsi tidak naik dan tidak turun.

\(\begin{aligned} 2x &= 0 \\
x &= \displaystyle \frac{0}{2} \\
x &= 0 \end{aligned}\)

Nah kita sudah temukan nih batas-batas gradiennya, yaitu pada saat \(x=0\). Selanjutnya kita cari daerah di sebelah kiri dan kanan apakah positif atau negatif, kegiatan ini sama halnya dengan mencari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat.

Kita gunakan lagi turunan pertama dari fungsi tersebut, kita ambil sembarang bilangan di sebelah kiri bilangan \(0\) kemudian memasukannya ke turunan pertama. Jika hasilnya berupa bilangan positif, maka daerah tersebut bertanda positif dan sebaliknya. Lakukan hal serupa untuk sembarang bilangan di sebelah kanan bilangan \(0\) juga.

Sebelah kiri: misalkan diambil angka \(x = -2\)

\(\begin{aligned} y’ &= 2x \\
&= 2 (-2) \\
&= -4 \end{aligned}\)

Hasilnya negatif, alias turunan pertama lebih kecil dari nol, atau bentuk simbolnya \(f'(x) < 0\).

Sebelah kanan: misalkan diambil angka \(x = 1\)

\(\begin{aligned} y’ &= 2x \\
&= 2 (1) \\
&= 2 \end{aligned}\)

Hasilnya positif, alias turunan pertama lebih besar dari nol, atau bentuk simbolnya \(f'(x) > 0\).

Agar mudah memahami hasil kegiatan barusan, berikut ilustrasinya.

Dari gambar diatas dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut.

grafik turun pada interval \(– \infty < x < 0\) dan grafik naik pada interval \(0 < x < \infty\).

Itulah pembahasan kemonotonan fungsi beserta contohnya. Sebenarnya sangatlah simpel cara pengerjaannya, kenapa bisa panjang? Karena saya memberikan penjelasan dulu dengan kata-kata, agar kalian paham.

Nah untuk contoh berikutnya saya akan langsung ke pembahasan saja. Baiklah, inilah contoh soal dan pembahasan kemonotonan fungsi.

1). Tentukan interval naik dan turun dari fungsi \(f(x) = 2x^{3} – 3x^{2} – 12x + 7\)

Jawab:

\(f(x) = 2x^{3} – 3x^{2} – 12x + 7\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= 6x^{2} – 6x – 12 \\
&= x^{2} – x – 2 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= 0 \\ x^{2} – x – 2 &= 0 \\
(x-2)(x+1) &= 0 \end{aligned}\)

\(x-2=0 \to x=2\)

\(x+1=0 \to x=-1\)

Selanjutnya buat garis bilangan.

Selanjutnya uji positif/negatif disembarang interval menggunakan turunan pertama. Misalkan ambil \(x=0\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= x^{2} – x – 2 \\
&= 0^{2} – 0 – 2 \\
&= -2 \end{aligned}\)

Pada saat \(x=0\) hasilnya negatif, artinya interval yang memuat \(x=0\) adalah interval negatif. Interval lainnya pasti postif secara berselang seling, jadi garis bilangannya berubah seperti berikut.

Kesimpulannya adalah \(f(x)\) naik pada interval \(( – \infty , -1)\) dan \((2, \infty)\), kemudian \(f(x)\) turun pada interval \((-1, 2)\).

Note: jika kamu ingin menguji positif/negatif semua interval boleh-boleh saja, tapi kalau ingin cepat cukup di satu interval saja, sisanya pasti akan berselang-seling tanda.

Agar kamu paham, coba deh perhatikan naik dan turunnya. Berikut adalah grafik fungsi dari \(f(x) = 2x^{3} – 3x^{2} – 12x + 7\).

2). Dimana saja fungsi \(f(x)\) monoton, jika diketahui \(f(x) = x^{4} – 8x^{2}\)

Jawab:

\(f(x) = x^{4} – 8x^{2}\)

\(f'(x) = 4x^{3} – 16x\)

\(\begin{aligned} f'(x) &=0 \\ 4x^{3} – 16x &=0 \\
4x (x^{2} – 4) &=0 \\
4x (x – 2) (x+2) &=0 \\
\end{aligned}\)

\(4x = 0 \to x = 0\)

\(x-2=0 \to x=2\)

\(x+2=0 \to x=-2\)

Selanjutnya uji positif/negatif disembarang interval menggunakan turunan pertama. Misalkan ambil \(x=-1\)

\(f'(x) = 4x^{3} – 16x\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= 4(-1)^{3} – 16(-1) \\
&= -4 + 16 \\
&= 12 \end{aligned}\)

Pada saat \(x=-1\) hasilnya positif, artinya interval yang memuat \(x=-1\) adalah interval positif. Interval lainnya pasti postif dan negatif secara berselang seling, jadi garis bilangannya berubah seperti berikut.

Kesimpulannya adalah \(f(x)\) naik pada interval \(( – 2 , 0)\) dan \((2, \infty)\), kemudian \(f(x)\) turun pada interval \((- \infty, -2)\) dan \((0, 2)\).

Adapun ilustrasi grafik fungsi \(f(x) = x^{4} – 8x^{2}\) adalah sebagai berikut.

Itulah contoh soal dan pembahasan kemonotonan fungsi secara lengkap dari Edumatik, jangan lupa share jika tulisan ini bermanfaat. Berikutnya kita akan belajar nilai maksimum dan nilai minimum turunan fungsi.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

66 + = 73