Cara cepat menyelesaikan limit tak hingga bentuk akar.
sumber: freepik.com

Limit Tak Hingga Bentuk Akar

Posted on 445 views

Edumatik.Net – Ini adalah artikel yang akan membahas cara menyelesaikan limit tak hingga bentuk akar. Mulai dari limit tak hingga bentuk akar 2 suku sampai limit tak hingga bentuk akar 3 suku.

Artikel ini merupakan materi terakhir dari limit fungsi aljabar pada subab limit tak hingga fungsi aljabar, dimana materi sebelumnya pada subab tersebut sudah kita bahas yaitu limit tak hingga bentuk pecahan.

Penyelesaian limit tak hingga bentuk akar sebenarnya menggunakan cara menyelesaikan limit dengan kali akar sekawan, itu kalau cara manualnya. Cara cepat menyelesaikan limit tak hingga bentuk akar akan saya berikan di akhir tulisan ini, sekarang fokus aja dulu ke cara dasarnya.

Nah inilah dia contoh soal limit tak hingga bentuk akar, simak baik-baik!

Tentukan nilai dari limit tak hingga berikut

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 3x – 1} – \sqrt{x^{2} – 2x +1}\)

Jawab

Cara menyelesaikan limit tak hingga diatas yaitu dengan kali sekawan dan dikombinasikan dengan cara menyelesaikan limit tak hingga bentuk pecahan.

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 3x – 1} – \sqrt{x^{2} – 2x +1}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^{2} + 3x – 1} – \sqrt{x^{2} – 2x +1} \right) \times 1\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^{2} + 3x – 1} – \sqrt{x^{2} – 2x +1} \right) \times \left( \frac{\sqrt{x^{2} + 3x – 1} + \sqrt{x^{2} – 2x +1}}{\sqrt{x^{2} + 3x – 1} + \sqrt{x^{2} – 2x +1}} \right)\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{ \left( \sqrt{x^{2} + 3x – 1} \right)^{2} – \left( \sqrt{x^{2} – 2x +1} \right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 3x – 1} + \sqrt{x^{2} – 2x +1}}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{ \left( x^{2} + 3x – 1 \right) – \left( x^{2} – 2x +1 \right)}{\sqrt{x^{2} + 3x – 1} + \sqrt{x^{2} – 2x +1}}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3x – 1 – x^{2} + 2x -1}{\sqrt{x^{2} + 3x – 1} + \sqrt{x^{2} – 2x +1}}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{5x-2}{\sqrt{x^{2} + 3x – 1} + \sqrt{x^{2} – 2x +1}}\)

Dari sini kita selesaikan dengan cara penyelesaian limit tak hingga bentuk pecahan. Jika belum baca, sebaiknya pelajari dulu artikel tersebut.

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x}{x} – \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3x}{x^{2}} – \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} – \frac{2x}{x^{2}} + \frac {1}{x^{2}}}}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{5 – \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x} – \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 – \frac{2}{x} + \frac {1}{x^{2}}}}\)

\(= \frac{5 – \frac{2}{\infty}}{\sqrt{ 1 + \frac{3}{\infty} – \frac{1}{\infty^{2}}} + \sqrt{1 – \frac{2}{\infty} + \frac {1}{\infty^{2}}}}\)

\(= \frac{5 – \frac{2}{\infty}}{\sqrt{ 1 + \frac{3}{\infty} – \frac{1}{\infty}} + \sqrt{1 – \frac{2}{\infty} + \frac {1}{\infty}}}\)

\(= \frac{5 – 0}{\sqrt{ 1 + 0 – 0} + \sqrt{1 – 0 + 0}}\)

\(= \frac{5}{\sqrt{1} + \sqrt{1}}\)

\(= \frac{5}{1 + 1}\)

\(= \frac{5}{2}\)

Nah sekarang kamu sudah tau cara menyelesaikan limit tak hingga dalam bentuk akar menggunakan cara manual. Oleh karena itu, sekarang saya kasih rumus cepat limit tak hingga bentuk akar.

Kita coba jawab soal diatas menggunakan rumus cepat.

\(a=1, b=3, q=-2\)

\(\begin{aligned} \frac{b-q}{2 \sqrt{a}} &= \frac{3-(-2)}{2 \sqrt{1}} \\
&= \frac{3+2}{2 . 1} \\
&= \frac{5}{2} \end{aligned}\)

Agar kamu lebih paham lagi saya kasih beberapa contoh, kamu bisa mencoba menyelesaikannya dengan cara manual. Tapi pada artikel ini saya akan coba menggunakan cara cepatnya aja. Oke inilah kumpulan soal limit tak hingga bentuk akar.

1). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{3x^{2} + 2x + 1} – \sqrt{3x^{2} – x – 1}\)

Jawab

\(a=3, b=2, q=-1\)

\(\begin{aligned} \frac{b-q}{2 \sqrt{a}} &= \frac{2-(-1)}{2 \sqrt{3}} \\
&= \frac{2+1}{2 \sqrt{3}} \\
&= \frac{3}{2 \sqrt{3}} \end{aligned}\)

Bentuk diatas ada \(\sqrt{3}\) di penyebut, sehingga harus dirasionalkan penyebutnya.

\(= \frac{3}{2 \sqrt{3}} \times 1\)

\(= \frac{3}{2 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

\(= \frac{3 \sqrt{3}}{2 . 3}\)

\(= \frac{\sqrt{3}}{2}\) atau

\(= \frac{1}{2} \sqrt{3}\)

2). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2} + 1} – \sqrt{4x^{2} – 2x + 5}\)

Jawab

\(a=4, b=0, q=-2\)

\(\begin{aligned} \frac{b-q}{2 \sqrt{a}} &= \frac{0-(-2)}{2 \sqrt{4}} \\
&= \frac{2}{2 . 2} \\
&= \frac{1}{2} \end{aligned}\)

3). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{(x-3)(x+5)} – \sqrt{(x+3)(x-1)}\)

Jawab

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{(x-3)(x+5)} – \sqrt{(x+3)(x-1)}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 2x -15} – \sqrt{x^{2} + 2x -3}\)

\(a=1, b=2, q=2\)

\(\begin{aligned} \frac{b-q}{2 \sqrt{a}} &= \frac{2-2}{2 \sqrt{1}} \\
&= \frac{0}{2} \\
&= 0 \end{aligned}\)

4). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} – 9x – 1} – x\)

Jawab

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} – 9x – 1} – x\)

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} – 9x – 1} – \sqrt{x^{2}}\)

\(a=1, b=-9, q=0\)

\(\begin{aligned} \frac{b-q}{2 \sqrt{a}} &= \frac{-9-0}{2 \sqrt{1}} \\
&= \frac{-9}{2} \\
&= – \frac{9}{2} \end{aligned}\)

5). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} (x-2) – \sqrt{x^{2} – 4x + 4}\)

Jawab

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} (x-2) – \sqrt{x^{2} – 4x + 4}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{(x-2)^{2}} – \sqrt{x^{2} – 4x + 4}\)

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} – 4x + 4} – \sqrt{x^{2} – 4x + 4}\)

\(a=1, b=-4, q=-4\)

\(\begin{aligned} \frac{b-q}{2 \sqrt{a}} &= \frac{-4-(-4)}{2 \sqrt{1}} \\
&= \frac{-4+4}{2} \\
&= \frac{0}{2} \\
&= 0 \end{aligned}\)

Itulah pembahasan lengkap mengenai limit tak hingga fungsi aljabar bentuk akar. Jika kamu suka tulisan-tulisan di Edumatik jangan lupa untuk memberikan 5 bintang dan share tulisan ini ke media sosial kamu.

0 0 vote
Article Rating
Beri tahu saya!
Notifikasi
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments