limit tak hingga fungsi aljabar bentuk pecahan
sumber: freepik.com

Limit Tak Hingga Bentuk Pecahan

Posted on 446 views

Edumatik.Net – Welcome back to edumatik, pada tulisan ini kamu akan belajar limit tak hingga dalam bentuk pecahan. Tentunya di Edumatik bukan hanya materi saja yang akan diberikan, akan tetapi diberikan juga cara menghitung limit tak hingga bentuk pecahan baik secara manual maupun menggunakan rumus cepat, pastinya kamu gak akan nyesel deh belajar di blog ini. Hehe

Ketika kamu menemukan soal limit tak hingga bentuk pecahan, langkah untuk menyelesaikannya yaitu dengan membagi pembilang dan penyebut oleh variabel pangkat tertinggi penyebut.

Gimana, udah kebayang belum limit fungsi tak hingga bentuk pecahan?
Kalau belum, oke deh saya kasih nih contoh soal limit tak hingga bentuk pecahan. Perhatikan baik-baik yaa!

Tentukan nilai dari \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{4} + 5x^{2} -2}{2x^{6} – 4x + 3}\)

Nah lho, gimana tuh cara nyelesainnya?
Sebenarnya cara mengerjakan limit tak hingga bentuk pecahan itu sangatlah gampang, yaitu seperti intruksi diatas “bagi pembilang dan penyebut oleh variabel pangkat tertinggi penyebut”.

Jawab:

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{4} + 5x^{2} -2}{2x^{6} – 4x + 3}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^{4}}{x^{6}} + \frac{5x^{2}}{x^{6}} – \frac{2}{x^{6}}}{\frac{2x^{6}}{x^{6}} – \frac{4x}{x^{6}} + \frac{3}{x^{6}}}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x^{2}} + \frac{5}{x^{4}} – \frac{2}{x^{6}}}{2 – \frac{4}{x^{5}} + \frac{3}{x^{6}}}\)

\(= \frac{\frac{3}{\infty^{2}} + \frac{5}{\infty^{4}} – \frac{2}{\infty^{6}}}{2 – \frac{4}{\infty^{5}} + \frac{3}{\infty^{6}}}\)

\(= \frac{\frac{3}{\infty} + \frac{5}{\infty} – \frac{2}{\infty}}{2 – \frac{4}{\infty} + \frac{3}{\infty}}\)

\(= \frac{0 + 0 – 0}{2 – 0 + 0}\)

\(= \frac{0}{2}\)

\(= 0\)

Mungkin diantara Kamu ada yang bertanya, kenapa sebuah bilangan dibagi tak hingga sama dengan nol?

Jadi gini, kita ambil contoh bilangan 2. Jika bilangan 2 ini Kita bagi dengan bilangan yang sangat besar, maka hasilnya akan mendekati nol. Perhatikan tabel dibawah ini!

Sekarang kamu sudah paham ya kenapa bisa jadi nol? Oke bagus!

Ada gak sih cara cepat menyelesaikan limit tak hingga bentuk pecahan?

Tentu saja ada, dibagian akhir akan saya kasih rumus cepat limit tak hingga bentuk pecahan. Tapi sekarang jangan terfokus kesitu, kamu pahami aja dulu cara manualnya karena bagian ini juga sangat penting.

Nah berikut ini adalah contoh soal dan pembahasan limit tak hingga bentuk pecahan menggunakan cara manual.

1). Tentukan nilai dari \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^{5} – 3x^{2} + 6}{5x + 3x^{5}}\)

Jawab:

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^{5} – 3x^{2} + 6}{5x + 3x^{5}}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^{5}}{x^{5}} – \frac{3x^{2}}{x^{5}} + \frac{6}{x^{5}}}{\frac{5x}{x^{5}} + \frac{3x^{5}}{x^{5}}}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2 – \frac{3}{x^{3}} + \frac{6}{x^{5}}}{\frac{5}{x^{4}} + 3}\)

\(= \frac{2 – \frac{3}{\infty^{3}} + \frac{6}{\infty^{5}}}{\frac{5}{\infty^{4}} + 3}\)

\(= \frac{2 – \frac{3}{\infty} + \frac{6}{\infty}}{\frac{5}{\infty} + 3}\)

\(= \frac{2 – 0 + 0}{0 + 3}\)

\(= \frac{2}{3}\)

2). Tentukan nilai dari \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{7} + 3}{4x^{4} – 3x + 2}\)

Jawab:

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{7} + 3}{4x^{4} – 3x + 2}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{7}}{x^{4}}+ \frac{3}{x^{4}}}{\frac{4x^{4}}{x^{4}} – \frac{3x}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}+ \frac{3}{x^{4}}}{4 – \frac{3}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}\)

\(= \frac{\infty^{3}+ \frac{3}{\infty^{4}}}{4 – \frac{3}{\infty^{3}} + \frac{2}{\infty^{4}}}\)

\(= \frac{\infty + \frac{3}{\infty}}{4 – \frac{3}{\infty} + \frac{2}{\infty}}\)

\(= \frac{\infty + 0}{4 – 0 + 0}\)

\(= \frac{\infty}{4}\)

\(= \infty\)

3). Tentukan nilai dari \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{-5x^{4} – 7x^{2}}{7x^{2} – 3}\)

Jawab:

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{-5x^{4} – 7x^{2}}{7x^{2} – 3}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-5x^{4}}{x^{2}} – \frac{7x^{2}}{x^{2}}}{\frac{7x^{2}}{x^{2}} – \frac{3}{x^{2}}}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{-5x^{2} – 7}{7 – \frac{3}{x^{2}}}\)

\(= \frac{-5 \infty^{2} – 7}{7 – \frac{3}{\infty^{2}}}\)

\(= \frac{-5 \infty – 7}{7 – \frac{3}{\infty}}\)

\(= \frac{- \infty – 7}{7 – 0}\)

\(= \frac{- \infty}{7}\)

\(= – \infty\)

4). Tentukan nilai dari \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2} -2}{\sqrt{x^{4} + 25}}\)

Jawab:

Harus cermat ketika menyelesaikan bentuk seperti ini, variabel pangkat tertinggi penyebut adalah \(x^{4}\). Tapi itu masih didalam akar, jika sudah dikeluarkan dari akar maka variabel tertingginya adalah \(x^{2}\).

Jadi, untuk pembilang bagi dengan \(x^{2}\) sebab tidak di dalam akar, sedangkan penyebut bagi dengan \(x^{4}\) sebab berada di dalam akar.

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2} -2}{\sqrt{x^{4} + 25}}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^{2}}{x^{2}} – \frac{2}{x^{2}}}{\sqrt{ \frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{25}{x^{4}}}}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3 – \frac{2}{x^{2}}}{\sqrt{1 + \frac{25}{x^{4}}}}\)

\(= \frac{3 – \frac{2}{\infty^{2}}}{\sqrt{1 + \frac{25}{\infty^{4}}}}\)

\(= \frac{3 – \frac{2}{\infty}}{\sqrt{1 + \frac{25}{\infty}}}\)

\(= \frac{3 – 0}{\sqrt{1 + 0}}\)

\(= \frac{3}{\sqrt{1}}\)

\(= \frac{3}{1}\)

\(= 3\)

Itulah contoh soal dan pembahasan limit tak hingga fungsi aljabar bentuk pecahan. Seperti yang saya bilang sebelumnya bahwa ada rumus cepat untuk menyelesaikan persoalan limit diatas. Berikut ini adalah rumus limit tak hingga bentuk pecahan.

Misalkan \(f(x)\) mempunyai pangkat tertinggi \(m\) dan \(g(x)\) mempunyai pangkat tertinggi \(n\). Jika \(f(x) = ax^{m} + bx^{m-1} + . . . + c\) dan \(g(x) = px^{n} + qx^{n-1} + . . . + r\) maka berlaku aturan berikut.

Sekarang kita coba jawab soal diatas menggunakan rumus cepat limit tak hingga fungsi aljabar bentuk pecahan.

Jawab 1

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^{5} – 3x^{2} + 6}{5x + 3x^{5}}\)

\(m=n=5, a=2, p=3\), jadi

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^{5} – 3x^{2} + 6}{5x + 3x^{5}} = \frac{2}{3}\)

Jawab 2

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{7} + 3}{4x^{4} – 3x + 2}\)

\(m=7, n=4\), maka \(m > n\).

\(a\) dan \(p\) sama-sama positif, maka nilainya positif tak hingga.

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{7} + 3}{4x^{4} – 3x + 2} = \infty\)

Jawab 3

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{-5x^{4} – 7x^{2}}{7x^{2} – 3}\)

\(m=4, n=2\), maka \(m > n\).

\(a\) negatif dan \(p\) positif, maka nilainya negatif tak hingga.

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{-5x^{4} – 7x^{2}}{7x^{2} – 3} = – \infty\)

Jawab 4

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2} -2}{\sqrt{x^{4} + 25}}\)

\(m=2\) dan \(n=2\) (sudah dikeluarkan dari akar), maka \(m = n\).

\(a\) positif dan \(p\) positif, jadi

\(\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2} -2}{\sqrt{x^{4} + 25}} &= \frac{3}{\sqrt{1}} \\
&= \frac{3}{1} \\
&= 1 \end{aligned}\)

Oke itulah pembahasan limit fungsi tak hingga bentuk pecahan, berikutnya kita akan belajar limit tak hingga fungsi aljabar bentuk akar. Semoga kamu diberikan pemahaman yang baik ya, jika masih belum paham coba baca beberapa kali sampai kamu benar-benar paham.

Tinggalkan Komentar

Please Login to comment
avatar
  Beri tahu saya!  
Notifikasi