Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri

Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri

Posted on 547 views

Edumatik.Net – Pada pembahasan limit tak hingga fungsi trigonometri ini kita akan mencari nilai limit dari suatu fungsi yang berbentuk trigonometri untuk \(x\) menuju atau mendekati tak hingga.

Secara sederhana, mencari limit x menuju tak hingga dari fungsi trigonometri yaitu kita hanya mengganti variabel dengan nilai hampiran \(x\), yaitu tak hingga.

Misalnya pada fungsi trigonometri \(f(x) = \cos \left( \frac{1}{x} \right)\).

Nilai \(f(x)\) untuk \(x\) menuju tak hingga sama dengan \(\cos 0\), karena nilai dari \(\frac{1}{\infty}\) mendekati nol.

Ingat ya, ketika ada bilangan real dibagi bilangan yang sangat besar (tak hingga) maka hasilnya akan mendekati angka nol.

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \cos \left( \frac{1}{x} \right) &= \cos \left( \frac{1}{\infty} \right) \\ &= \cos 0 \\ &= 1 \end{aligned}\)

Bagaimana kalau fungsi trigonometrinya \(f(x) = \cos x\)
Nah lho, gimana tuh caranya?

Kita tahu bahwa nilai satu periode \(( 0^{\circ} – 360^{\circ} )\) dari \(\cos x\) maksimumnya \(1\) dan minimumnya \(-1\). Nilai ini akan terus berulang berapapun \(x\) nya, tentunya dengan nilai \(x\) yang jelas (ada nilainya).

Perlu diketahui bahwa yang namanya “tak hingga”, itu gak jelas nilainya berapa.

Artinya ketika \(x\) mendekati tak hingga, nilai cosinus tidak dapat menghasilkan nilai yang jelas. Sehingga dapat disimpulkan, jika besar sudut \(x\) tak hingga maka nilai limit \(\cos x\) tidak terdefinisi.

\(\displaystyle \color{red}{\lim_{x \to \infty} \cos \left( \frac{1}{x} \right) = 1}\)

\(\displaystyle \color{red}{\lim_{x \to \infty} \cos x = \text{tak terdefinisi}}\)

Cara Menentukan Nilai Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri

Berikut ini aku bahas cara mencari nilai limit x menuju tak hingga dari suatu fungsi trigonometri yang lebih kompleks. Simak baik-baik!

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[ x \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right]\)

Jika kita langsung mensubstitusikan tak hingga ke fungsi trigonometrinya maka hasilnya akan berupa \(” \infty . 0 “\) (bentuk tak tentu), sehingga harus kita ubah dulu.

Misalkan \(\frac{1}{x} = y\), maka \(x= \frac{1}{y}\)
Untuk \(x\) mendekati tak hingga maka nilai \(y\) mendekati nol.

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \left[ x \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right] &= \lim_{y \to 0} \left[ \frac{1}{y} \sin y \right] \\ &= \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} \\ &= 1 \end{aligned}\)

Itulah tadi cara menyelesaikan soal limit tak hingga fungsi trigonometri, semoga kamu paham dengan penjelasan aku.

Contoh Soal Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri

Berikut ini adalah contoh soal limit fungsi trigonometri untuk x menuju tak hingga.

1). Tentukan nilai limit tak hingga dari suatu fungsi trigonometri berikut:

a). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{1}{x} \csc \frac{1}{x} \right]\)

b). \(\displaystyle \lim_{y \to \infty} \left[ \frac{\cot \left( \frac{1}{y}\right)}{y} \right]\)

Jawab:

a). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{1}{x} \csc \frac{1}{x} \right]\)

Misalkan \(\frac{1}{x} = y\), maka \(x= \frac{1}{y}\).
Untuk \(x\) mendekati tak hingga maka nilai \(y\) mendekati nol.

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{1}{x} \csc \frac{1}{x} \right] &= \lim_{y \to 0} y \csc y \\ &= \lim_{y \to 0} \left[ y \frac{1}{\sin y} \right] \\ &= \lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin y} \\ &= 1 \end{aligned}\)

b). \(\displaystyle \lim_{y \to \infty} \left[ \frac{\cot \left( \frac{1}{y}\right)}{y} \right]\)

Misalkan \(\frac{1}{y} = x\), maka \(y=\frac{1}{x}\).
Untuk \(y\) mendekati tak hingga maka nilai \(x\) mendekati nol.

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{ y \to \infty} \left[ \frac{\cot \left( \frac{1}{y}\right)}{y} \right] &= \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\cot x}{\frac{1}{x}} \right] \\ &= \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\frac{1}{\tan x}}{\frac{1}{x}} \right] \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} \\ &= 1 \end{aligned}\)

2). Carilah penyelesaian dari limit tak hingga fungsi trigonometri berikut!

a). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[ \tan \left( \frac{12}{x}\right) \csc \left( \frac{3}{x} \right) \right]\)

b). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[ 4 \csc 2x^{-1} \tan x^{-1} \right]\)

c). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{\cot \left( \frac{1}{3x}\right)}{\csc \left( \frac{5}{x}\right)} \right]\)

Jawab:

a). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[ \tan \left( \frac{12}{x}\right) \csc \left( \frac{3}{x} \right) \right]\)

Misalkan \(\frac{1}{x} = y\), maka \(x= \frac{1}{y}\).
Untuk \(x\) mendekati tak hingga maka nilai \(y\) mendekati nol.

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \left[ \tan \left( \frac{12}{x} \right) \csc \left( \frac{3}{x}\right) \right] &= \lim_{y \to 0} \left[ \tan 12y \csc 3y \right] \\ &= \lim_{y \to 0} \left[ \tan 12y \frac{1}{\sin 3y} \right] \\ &= \lim_{y \to 0} \frac{\tan 12y}{\sin 3y} \\ &= \frac{12}{3} \\ &= 4 \end{aligned}\)

b). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[ 4 \csc 2x^{-1} \tan x^{-1} \right]\)

Misalkan \(\frac{1}{x} = y\), maka \(x= \frac{1}{y}\).
Untuk \(x\) mendekati tak hingga maka nilai \(y\) mendekati nol.
Ingat, \(x^{-1} = \frac{1}{x}\).

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \left[ 4 \csc 2x^{-1} \tan x^{-1} \right] &= 4 \lim_{y \to 0} \left[ \csc 2y . \tan y \right] \\ &= 4 \lim_{y \to 0} \left[ \frac{1}{\sin 2y} . \tan y \right] \\ &= 4 \lim_{y \to 0} \frac{\tan y}{\sin 2y} \\ &= 4 . \frac{1}{2} \\ &= 2 \end{aligned}\)

c). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{\cot \left( \frac{1}{3x}\right)}{\csc \left( \frac{5}{x}\right)} \right]\)

Misalkan \(\frac{1}{x} = y\), maka \(x= \frac{1}{y}\).
Untuk \(x\) mendekati tak hingga maka nilai \(y\) mendekati nol.

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{\cot \left( \frac{1}{3x}\right)}{\csc \left( \frac{5}{x}\right)} \right]\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{\cot \left( \frac{1}{3} . \frac{1}{x}\right)}{\csc \left( 5. \frac{1}{x}\right)} \right]\)

\(\displaystyle = \lim_{y \to 0} \left[ \frac{\cot \left( \frac{1}{3} . y \right)}{\csc 5y} \right]\)

\(\displaystyle = \lim_{y \to 0} \left[ \frac{\cot \left( \frac{y}{3} \right)}{\csc 5y} \right]\)

\(\displaystyle = \lim_{y \to 0} \left[ \frac{ \frac{1}{\tan \left( \frac{y}{3} \right)}}{\frac{1}{\sin 5y}} \right]\)

\(\displaystyle = \lim_{y \to 0} \left[ \frac{1}{\tan \left( \frac{y}{3} \right)} . \frac{\sin 5y}{1} \right]\)

\(\displaystyle = \lim_{y \to 0} \left[ \frac{\sin 5y}{\tan \left( \frac{y}{3} \right)} \right]\)

\(\displaystyle = \lim_{y \to 0} \left[ \frac{\sin 5y}{\tan \left( \frac{1}{3} y \right)} \right]\)

\(\displaystyle = \frac{5}{\frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle = 5.3\)

\(\displaystyle = 15\)

Soal Latihan Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri

Berikut ini adalah soal latihan limit fungsi trigonometri untuk x menuju tak hingga.

1). \(\displaystyle \lim_{y \to \infty} \left[ \frac{2}{y} \cot \left( \frac{1}{y} \right) \right]\)

2). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{x}{\csc \left( \frac{3}{x} \right)} \right]\)

3). \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left[ 2 \sin \left( \frac{4}{x} \right) \cot \left( \frac{2}{x} \right) \right]\)

4). \(\displaystyle 3 . \lim_{x \to \infty} \left[ \cot 3x^{-1} \sin x^{-1} \right]\)

5). \(\displaystyle 3 . \lim_{y \to \infty} \left[ \frac{\csc \frac{1}{2y}}{\cot \frac{4}{y}} \right]\)

Akhirnya selesai juga, itulah pembahasan limit x menuju tak hingga dari fungsi trigonometri beserta contohnya. Bagikan tulisan ini agar bermanfaat, sampai berjumpa lagi pada tulisan berikutnya.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *