Pembuktian Aturan Cosinus, Materi, dan Contoh Soal

Posted on
5/5 (1)

Aturan cosinus adalah aturan trigonometri yang menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut sebuah segitiga. Rumus aturan cosinus mempunyai tiga buah persamaan, hal ini sesuai dengan segitiga yang mempunyai tiga buah sudut. Aturan cosinus digunakan untuk menentukan besar salah satu sudut segitiga saat tiga sisi segitiga diketahui, selain itu aturan cosinus dapat pula digunakan untuk menentukan salah satu sisi segitiga saat diketahui dua sisi dan sudut apitnya.

Sebelumnya sudah dipelajari mengenai aturan sinus, jika Kamu belum mempelajarinya sebaiknya pahami dulu materi tersebut. Dibawah ini adalah rumus aturan cosinus yang akan Kamu gunakan untuk memecahkan masalah segitiga.

Pembuktian Rumus Aturan Cosinus

Dibawah ini adalah sebuah segitiga sembarang \(ABC\)
\(AD=p, BE=q, CF=r\) adalah garis-garis tinggi, sedangkan \(a, b, c\) adalah panjang sisi-sisi segitiga.

Lihat segitiga \(ACF\)
\(\sin A = \frac {CF}{AC}\)
\(\sin A = \frac {r}{b}\)
\(b \sin A = r\) . . . (1)
\(\cos A = \frac {AF}{AC}\)
\(\cos A = \frac {AF}{b}\)
\(b \cos A = AF\) . . . (2)
\(BF = AB-AF\)
\(BF = c-AF\)
\(BF = c-b \cos A\) . . . (3)


Lihat Segitiga \(BCF\)
Dengan menggunakan rumus pythagoras didapatkan rumusan sebagai berikut:

\((BC)^{2} = (CF)^{2} + (BF)^{2}\)
\(a^{2} = r^{2} + (BF)^{2}\)
\(a^{2} = (b \sin A)^{2} + (c-b \cos A)^{2}\)
\(a^{2} = b^{2} \sin^{2} A + c^{2} -2.b.c. \cos A + b^{2} \cos^{2} A\)
\(a^{2} = b^{2} (\sin^{2} A + \cos^{2} A) + c^{2} – 2.b.c. \cos A\)
\(a^{2} = b^{2} (1) + c^{2} – 2.b.c. \cos A\)
\(a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2.b.c. \cos A\) <terbukti>

Dengan melakukan cara yang sama, Kamu buktikan sendiri aja ya untuk dua rumus aturan cosinus lainnya! Biar makin pinter hehehe.


Contoh:

1). Segitiga \(ABC\) dengan panjang \(a=5\) cm, \(c=6\), dan \(\angle B = 60^{\circ}\). Tentukanlah panjang sisi b!

Jawab:

\(b^{2} = a^{2} + c^{2} – 2.a.c. \cos B\)
\(b^{2} = 5^{2} + 6^{2} – 2 . 5 . 6 \cos 60^{\circ}\)
\(b^{2} = 25 + 36 – 60 . \left( \frac {1}{2} \right)\)
\(b^{2} = 61-30\)
\(b^{2} = 31\)
\(b = \sqrt{31}\) cm


2). Diketahui segitiga \(ABC\) dengan \(a=8\) cm, \(c=6\) cm, dan \(\angle B = 120^{\circ}\). Tentukan panjang sisi b!

Jawab:

\(b^{2} = a^{2} + c^{2} – 2.a.c \cos B\)
\(b^{2} = 8^{2} + 6^{2} – 2 . 8 . 6 \cos 120^{\circ}\)
\(b^{2} = 64 + 36 – 96 \left( -\frac {1}{2} \right)\)
\(b^{2} = 100 + 48\)
\(b^{2} = 148\)
\(b = 2 \sqrt{37}\) cm


3). Diketahui segitiga \(MNO\) dengan panjang sisi \(m=3\) cm, \(n=5\) cm, dan \(o=7 cm\). Tentukanlah besar sudut O!

Jawab:

\(o^{2} = m^{2} + n^{2} – 2.m.n. \cos O\)
\(7^{2} = 3^{2} + 5^{5} – 2 . 3. 5 \cos O\)
\(49 = 9 + 25 – 30 \cos O\)
\( 49-9-25 = -30 \cos O\)
\( 15 = -30 \cos O\)
\( \frac {15}{-30} = \cos O\)
\( – \frac {1}{2} = \cos O\)

Nilai-nilai O yang mungkin adalah \(120^{\circ}\) dan \(240^{\circ}\).
Ingat, jumlah sudut dalam segitiga hanya \(180^{\circ}\), yang berarti tidak mungkin salah satu sudutnya \(240^{\circ}\). Jadi dapat disimpulkan bahwa nilai dari \(\angle O = 120^{\circ}\)


4). Diketahui sebuah segitiga \(PQR\) dengan panjang \(p, q, r\) berturut-turut adalah \(7, 8, 9\). Tentukanlah nilai \(\sin P\)!

Jawab:

\(p^{2} = q^{2} + r^{2} – 2.q.r. \cos P\)
\(\frac {p^{2} – q^{2} – r^{2}}{-2qr} = \cos P\) atau
\(\cos P = \frac {p^{2} – q^{2} – r^{2}}{-2qr}\)
\(\cos P = \frac {7^{2} – 8^{2} – 9^{2}}{-2 . 8 . 9}\)
\(\cos P = \frac {49 – 64 – 81}{-144}\)
\(\cos P = \frac{-96}{-144}\)
\(\cos P = \frac{2}{3}\)

Ingat \(\cos P = \frac{Sa}{Mi} = \frac {2}{3}\)
Dengan menggunakan pythagoras Kita dapat mengetahu sisi didepan sudut P, yaitu \(De = \sqrt{5}\), sehingga

\(\sin P = \frac{De}{Mi}\)
\(\sin P = \frac{\sqrt{5}}{3}\) atau \(\sin P = \frac{1}{3} \sqrt{5}\)


5). Diketahui segitiga \(PQR\) dengan \(\angle R = 30^{\circ}, PR=2b, QR=2b \sqrt{3}\). Tentukanlah panjang \(PQ\)!

Jawab:

\((PQ)^{2} = (PR)^{2} + (QR)^{2} – 2(PR)(QR) \cos R\)
\((PQ)^{2} = (2b)^{2} + \left( 2b \sqrt{3} \right)^{2} – 2 . 2b . 2b \sqrt{3} \cos 30^{\circ}\)
\((PQ)^{2} = 4b^{2} + 4b^{2} . 3 – 8b^{2} \sqrt{3} . \frac {1}{2} \sqrt{3}\)
\((PQ)^{2} = 4b^{2} + 12b^{2} – 12b^{2}\)
\((PQ)^{2} = 4b^{2}\)
\((PQ) = \sqrt{4b^{2}}\)
\((PQ) = 2b\)


Itulah pembahasan aturan cosinus beserta contoh soalnya, semoga Kamu paham dengan apa yang dijelaskan diatas. Jika tulisan ini bermanfaat silahkan untuk membagikannya.

Beri nilai tulisan ini!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

9 × 1 =