Pembuktian Aturan Sinus, Contoh Soal, dan Pembahasannya 5/5 (5)

Posted on

Edumatik.Net – Kamu pasti sudah belajar perbandingan trigonometri bukan? Pastinya Kamu sudah tidak asing lagi dengan sinus dan cosinus. Khusus untuk sinus dan cosinus ternyata  mempunyai aturan sendiri dalam sebuah segitiga. Aturan ini merupakan perluasan dari konsep trigonometri, sehingga aturan ini bisa berlaku untuk segigita sembarang.

Dibawah ini akan dipaparkan pembuktian aturan sinus, setelah itu Kamu akan diajarkan juga mengenai contoh soal aturan sinus beserta jawabannya dengan sangat jelas, jadi bacalah dengan perlahan ya! Nah agar lebih jelas, simaklah pembahasan dibawah ini.

Dibawah ini merupakan segitiga ABC sembarang.

> PA, QB, dan RC merupakan merupakan garis tinggi segitiga tersebut.
> a, b, c merupakan sisi-sisi dihadapan sudut A, B, C

Lihat Segitiga ACR
\sin A = \dfrac {CR}{AC}
\sin A = \dfrac {CR}{b}
b \sin A = CR . . . (1)
Lihat Segitiga BCR
\sin B = \dfrac {CR}{BC}
\sin B = \dfrac {CR}{a}
a \sin B = CR . . . (2)
Lihat Segitiga ABQ
\sin A = \dfrac {BQ}{AB}
\sin A = \dfrac {BQ}{c}
c \sin A = BQ . . . (3)
Lihat Segitiga BCQ
\sin C = \dfrac {BQ}{BC}
\sin C = \dfrac {BQ}{a}
a \sin C = BQ . . . (4)
Dari ersamaan (1) dan (2)
CR=CR
b \sin A = a \sin B
\dfrac {b}{\sin B} = \dfrac {a}{\sin A} . . . (5)
Dari ersamaan (3) dan (4)
BQ=BQ
c \sin A = a \sin C
\dfrac {c}{\sin C} = \dfrac {a}{\sin A} . . . (6)


Dari persamaan (5) dan (6) dapat disimpulkan bahwa:

Rumusan tersebut dinamakan dengan Rumus Aturan Sinus.

Gimana, paham kan?
Berikut adalah contoh soal aturan sinus beserta pembahasannya, simak baik-baik yaa!


1). Di bawah ini merupakan segitiga sembarang, berapakah panjang sisi AC?

Jawab:

\dfrac {b}{\sin B} = \dfrac {c}{\sin C}
\dfrac {AC}{\sin 45^{\circ}} = \dfrac {12}{\sin 60^{\circ}}
AC = \dfrac {12 \times \sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}
AC = \dfrac {12 \times \dfrac {1}{2} \sqrt{2}}{\dfrac {1}{2} \sqrt{3}}
AC = \dfrac {12 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}
AC = \dfrac {12 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \dfrac {\sqrt{3}}{\sqrt{3}}
AC = \dfrac {12 \sqrt{6}}{3}
AC = 4 \sqrt{6} cm


2). Diketahu segitiga PQR dengan \angle P = 45^{\circ} dan \angle Q = 60^{\circ}. Jika panjang QR = 4 cm, tentukanlah panjang PR?

Jawab:

Ilustrasi
\dfrac {PR}{\sin Q} = \dfrac {QR}{\sin P}
PR = \dfrac {QR}{\sin P} \times \sin Q
PR = \dfrac {4}{\sin 45^{\circ}} \times \sin 60^{\circ}
PR = \dfrac {4}{\dfrac {1}{2} \sqrt{2}} \times \dfrac {1}{2} \sqrt{3}
PR = \dfrac {4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}
PR = \dfrac {4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \dfrac {\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
PR = \dfrac {4 \sqrt{6}}{2}
PR = 2 \sqrt{6} cm


3). Diketahui segitiga XYZ dengan \angle Y = 45^{\circ}, y=6, dan z=8. Tentukanlah \cos Z!

Jawab:

Ilustrasi
\dfrac {y}{\sin Y} = \dfrac {z}{\sin Z}
\sin Z = \dfrac {z}{y} \times \sin Y
\sin Z = \dfrac {8}{6} \times \sin 45^{\circ}
\sin Z = \dfrac {4}{3} \times \dfrac {1}{2} \sqrt{2}
\sin Z = \dfrac {2 \sqrt{2}}{3}
Ingat!
\sin Z = \dfrac {De}{Mi}
De = 2 \sqrt{2},  Mi = 3. Dengan menggunakan pythagoras sisi sampingnya dapat diketahui.
Sa = \sqrt{3^{2} - (2 \sqrt{2})^{2}}
Sa = \sqrt{9 - 4 . 2}
Sa = \sqrt{9-8}
Sa = \sqrt{1}
Sa = 1

Jadi dapat disimpulkan bahwa

\cos Z = \dfrac {Sa}{Mi}
\cos Z = \dfrac {1}{3}


4). Diketahui segitiga ABC dengan \angle A = 60^{\circ}, \angle B = 45^{\circ}, dan \angle C = 75^{\circ}. Berapakah nilai perbandingan dari \dfrac {AC}{BC}!

Jawab:

\dfrac {b}{\sin B} = \dfrac {a}{\sin A}
\dfrac {AC}{\sin 45^{\circ}} = \dfrac {BC}{\sin 60^{\circ}}
\dfrac {AC}{BC} = \dfrac {\sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}
\dfrac {AC}{BC} = \dfrac {\dfrac{1}{2} \sqrt{2}}{\dfrac{1}{2} \sqrt{3}}
\dfrac {AC}{BC} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

Itulah pembahasan lengkap aturan sinus dari edumatik, semoga Kamu paham dengan apa yang Saya jelaskan. Jika dirasa artikel ini bermanfaat silahkan share, agar lebih banyak lagi orang yang terbantu.

Beri nilai tulisan ini!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

2 + 8 =