Pembuktian Rumus Deret Aritmatika dan Contoh Soal

Posted on
Belum ada peringkat.

Edumatik.Net – Pengertian deret itu sebenarnya apa sih?
Sederhananya deret adalah nilai yang didapatkan dari penjumlahan semua suku dari suatu barisan. Jika penjumlahan dari barisan aritmatika maka disebut dengan deret aritmatika, jika penjumlahan dari barisan geometri maka disebut dengan deret geometri.

Tapi pada artikel ini Kamu akan mempelajari materi deret aritmatika, untuk deret geometri akan dibahas di artikel terpisah.

Sebelum membuktikan rumus, Kita akan melakukan sebuah eksperimen terlebih dulu. Eksperimen ini ada kaitannya dengan cara membuktikan rumus deret aritmatika. Jadi bersabarlah dulu dan ikuti aja aturannya, biar Kamu paham. Oke?

Misalnya ada sebuah barisan aritmatika \(1, 3, 5, 7, 9, 11\).

Bagaimana sih mencari jumlah deret aritmatika diatas?

Kalau sukunya sedikit, bisa aja langsung dijumlahkan. Tapi masalahnya bagaimana kalau sukunya banyak. Pastinya puyengkan?

Oleh karena itu Kita akan mencari rumus jumlah deret aritmatika agar kedepannya kalau Kita menemukan barisan aritmatika yang sukunya banyak Kita gak akan kerepotan lagi.

Kita akan coba menjumlahkan barisan diatas dengan cara yang berbeda.
Agar lebih mudah, Kita simbolkan jumlah barisan aritmatika itu dengan simbol \(S_n\).

\(S_n = 1+3+5+7+9+11\) atau

\(S_n = 11+9+7+5+3+1\)

Jika keduanya dijumlahkan maka akan seperti berikut ini.

\(2 S_n = 12+12+12+12+12+12\) atau

\(2 S_n = 6 \times 12\)

\(S_n = \frac{6}{2} \times 12\)

\(S_n = \frac{6}{2} \times (1+11)\)

Dari bentuk terakhir, Kita bisa ketahui bahwa 6 adalah banyaknya suku barisan aritmatika, 2 adalah rumusan tetap, 1 adalah suku pertama, dan 11 adalah suku terakhir dari barisan aritmatika.

Jika perhitungannya diselesaikan maka hasilnya adalah 36. Kalau dihitung manualpun pasti hasilnya sama.

Kamu sekarang udah tau nih cara menemukan rumus deret aritmatika dengan angka-angka. Sekarang saatnya Kita buktikan rumus deret aritmatika tersebut dengan cara yang lebih formal.

Rumus diatas dapat dikembangkan lagi menjadi bentuk lain, perhatikan penjelasan dibawah ini!

\(S_n = \frac{n}{2} \left[ 2a + (n-1)b \right]\)

\(S_n = \frac{n}{2} \left[ a+a + (n-1)b \right]\)

\(S_n = \frac{n}{2} \left[ a + \left( a+ (n-1)b \right) \right]\)

\(S_n = \frac{n}{2} \left[ a + U_n \right]\)

Jika disederhanakan lagi, maka akan seperti beriku ini.

\(S_n = \frac{n}{2} \left[ a + U_n \right]\)

\(S_n = n \left[ \frac{a + U_n}{2} \right]\)

\(S_n = n . U_t\)

\(U_t\) adalah suku tengah barisan aritmatika.

Dari sini dapat Kita simpulkan bahwa rumus deret aritmatika itu adalah sebagai berikut:

Diatas Kamu sudah mengetahui materi deret aritmatika, sekarang akan Kita bahas contoh soalnya. Berikut ini adalah contoh soal deret aritmatika beserta jawabannya.

1). Carilah suku ke \(50\) dari barisan \(2, 4, 6, 8, . . .\) dan hitunglah jumlah \(50\) suku pertama!

Jawab:
Diketahui \(a=2, b=2\) dan \(n=50\)

\(U_n = a + (n-1)b\)

\(U_{50} = 2 + (50-1) 2\)

\(U_{50} = 2 + (49) 2\)

\(U_{50} = 2 + 98\)

\(U_{50} = 100\)

Jadi suku ke \(50\) adalah \(100\)

\(S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)\)

\(S_n = \frac{50}{2} (2 + 100)\)

\(S_n = 25 \times 102\)

\(S_n = 2550\)

Jadi jumlah \(50\) suku barisan aritmatika diatas adalah \(2250\)

2). Tentukan jumlah \(31\) suku pertama dari \(1, 3, 5, 7, . . .\)

Jawab:

Diketahui \(a=1, b=3-1=2, n=31\)

\(S_n = \frac{n}{2} \left[ 2a + (n-1)b \right]\)

\(S_n = \frac{31}{2} \left[ 2 (1) + (31-1) 2 \right]\)

\(S_n = \frac{31}{2} \left[ 2 + (30) 2 \right]\)

\(S_n = \frac{31}{2} \left[ 2 + 60 \right]\)

\(S_n = \frac{31}{2} \left[ 62 \right]\)

\(S_n = 31 \times 31\)

\(S_n = 961\)

3). Diketahui suatu barisan aritmatika yang terdiri dari \(11\) suku dengan suku tengahnya adalah \(34\). Tentukan jumlah \(11\) suku pertama tersebut!

Jawab:

Diketahui \(n = 11, U_t = 34\)

\(S_n = n \times U_t\)

\(S_n = 11 \times 34\)

\(S_n = 374\)

Gimana, mudah kan?
Masih ada bentuk lain dari pengembangan rumus deret aritmatika, hubungan ini dinamakan hubungan rekursif \(U_n\) terhadap \(S_n\). Berikut adalah pembuktian rumus hubungan Un dan Sn.

4). Jika jumlah \(n\) suku pertama barisan aritmatika \(S_n = \frac{n}{2} \left( 2n-10 \right)\), tentukanlah!
(a). Beda
(b). Suku ke-n
(c). Suku ke-10

Jawab:

\(S_n = \frac{n}{2} \left( 2n-10 \right) \rightarrow S_n = n^{2} – 5n\)

(a). \(S_1 = 1^{2} – 5(1) = -4 \rightarrow U_1 = -4\)

\(S_2 = 2^{2} – 5(2) = -6 \rightarrow U_2 = S_2 – S_1 = -6 – (-4) = -2\)

\(b = U_2 – U_1 = -2 – (-4) = 2\)

(b). \(U_n = S_n – S_{n-1}\)

\(U_n = \left[ \frac{n}{2} \left( 2n-10 \right) \right] – \left[ \frac{(n-1)}{2} \left( 2(n-1)-10 \right) \right]\)

\(U_n = (n^{2} – 5n) – \left( (n-1)^{2} -5(n-1) \right)\)

\(U_n = (n^{2} – 5n) – \left( n^{2} – 2n + 1 – 5n +5 \right)\)

\(U_n = (n^{2} – 5n) – (n^{2} – 7n + 6)\)

\(U_n = n^{2} – 5n – n^{2} + 7n – 6\)

\(U_n = 2n – 6\)

(c). \(U_n = 2n – 6\)

\(U_{10} = 2 (10) – 6\)

\(U_{10} = 20 – 6\)

\(U_{10} = 14\)

Dalam kasus lain ada yang namanya deret aritmatika pecahan, sebenarnya cara menyelesaikan deret aritmatika pecahan sama saja dengan deret aritmatika biasa.

Itulah pembahasan lengkap mengenai deret aritmatika dan contohnya. Selanjutnya akan dibahas mengenai barisan geometri dan deret geometri. Semoga masih bisa dipertemukan di blog edumatik ini.

Jika tulisan ini bermanfaat jangan lupa untuk share dan berikan bintang yang tinggi yaa. Sampai jumpa di tulisan berikutnya, bye.

Beri nilai tulisan ini!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

× 5 = 30