Pembuktian Rumus Perkalian Trigonometri dan Contoh Soal

Posted on
5/5 (1)

Pembuktian rumus perkalian sinus dan cosinus merupakan bagian materi trigonometri yang akan Kita bahas pada tulisan ini. Selain itu Kita juga akan membahas contoh soal rumus perkalian sinus dan cosinus, akan tetapi sebelum membahas materi ini sebaiknya Kamu membaca dulu matari sebelumnya yaitu rumus jumlah dan selisih dua sudut, sebab pembuktian rumus pada materi ini berawal dari materi tersebut.

Berikut adalah rumus perkalian trigonometri yang wajib Kamu pahami dan hafalkan:

Nah dibawah ini adalah pembuktian rumus perkalian sinus dan cosinus, simaklah pembahasan berikut dengan baik!

\(\sin \left( \alpha + \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)

\(\sin \left( \alpha – \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta\)

Sekarang jumlahkan kedua persamaan diatas, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:

\(\sin \left( \alpha + \beta \right) + \sin \left( \alpha – \beta \right) = 2 \sin \alpha \cos \beta\)

\(2 \sin \alpha \cos \beta = \sin \left( \alpha + \beta \right) + \sin \left( \alpha – \beta \right)\) terbukti

\(\sin \left( \alpha + \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)

\(\sin \left( \alpha – \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta\)

Sekarang Kurangkan kedua persamaan diatas, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:

\(\sin \left( \alpha + \beta \right) – \sin \left( \alpha – \beta \right) = 2 \cos \alpha \sin \beta\)

\(2 \cos \alpha \sin \beta = \sin \left( \alpha + \beta \right) – \sin \left( \alpha – \beta \right)\) terbukti

\(\cos \left( \alpha + \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta\)

\(\cos \left( \alpha – \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\)

Sekarang jumlahkan kedua persamaan diatas, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:

\(\cos \left( \alpha + \beta \right) + \cos \left( \alpha – \beta \right) = 2 \cos \alpha \cos \beta\)

\(2 \cos \alpha \cos \beta = \cos \left( \alpha + \beta \right) + \cos \left( \alpha – \beta \right)\) terbukti

\(\cos \left( \alpha + \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta\)

\(\cos \left( \alpha – \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\)

Sekarang kurangkan kedua persamaan diatas, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:

\(\cos \left( \alpha + \beta \right) – \cos \left( \alpha – \beta \right) = – 2 \sin \alpha \sin \beta\)

\(– 2 \sin \alpha \sin \beta = \cos \left( \alpha + \beta \right) – \cos \left( \alpha – \beta \right)\) terbukti


Nah, berikut adalah contoh soal dan jawaban perkalian trigonometri, simak baik-baik ya!

Nomor 1
Berapakah nilai dari \(2 \cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ}\)?

Jawab:

\(2 \cos \alpha \cos \beta = \cos \left( \alpha + \beta \right) + \cos \left( \alpha – \beta \right)\)

\(2 \cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ} = \cos \left( 75^{\circ} + 15^{\circ} \right) + \cos \left( 75^{\circ} – 15^{\circ} \right)\)

\(2 \cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ} = \cos 90^{\circ} + \cos 60^{\circ}\)

\(2 \cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ} = 0 + \frac{1}{2}\)

\(2 \cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ} = \frac{1}{2}\)

Nomor 2
Berapakah nilai dari \(\sin \left( \frac{3 \pi}{8} \right) \sin \left( \frac{\pi}{8} \right)\)

Jawab:

\(– 2 \sin \alpha \sin \beta = \cos \left( \alpha + \beta \right) – \cos \left( \alpha – \beta \right)\)

\(\sin \alpha \sin \beta = – \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \alpha + \beta \right) – \cos \left( \alpha – \beta \right) \right]\)

\(\sin \left( \frac{3 \pi}{8} \right) \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) = – \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \frac{3 \pi}{8} + \frac{\pi}{8} \right) – \cos \left( \frac{3 \pi}{8} – \frac{\pi}{8} \right) \right]\)

\(\sin \left( \frac{3 \pi}{8} \right) \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) = – \frac{1}{2} \left[ \cos \frac{4 \pi}{8} – \cos \frac{2 \pi}{8} \right]\)

\(\sin \left( \frac{3 \pi}{8} \right) \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) = – \frac{1}{2} \left[ \cos \frac{\pi}{2} – \cos \frac{\pi}{4} \right]\)

\(\sin \left( \frac{3 \pi}{8} \right) \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) = – \frac{1}{2} \left[ 0 – \frac{1}{2} \sqrt{2} \right]\)

\(\sin \left( \frac{3 \pi}{8} \right) \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) = – \frac{1}{2} \left[- \frac{1}{2} \sqrt{2} \right]\)

\(\sin \left( \frac{3 \pi}{8} \right) \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{1}{4} \sqrt{2}\)

Nomor 3
Tentukan nilai dari \(4 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{3 \pi}{8} \right)\)!

Jawab:

\(4 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{3 \pi}{8} \right) = 2 \times 2 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{3 \pi}{8} \right)\)

\(= 2 \left[ 2 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{3 \pi}{8} \right) \right]\)

\(= 2 \left[ \sin \left( \frac{\pi}{8} + \frac{3 \pi}{8} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{8} – \frac{3 \pi}{8} \right) \right]\)

\(= 2 \left[ \sin \left( \frac{4 \pi}{8} \right) + \sin \left( \frac{-2 \pi}{8} \right) \right]\)

\(= 2 \left[ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) + \sin \left( – \frac{\pi}{4} \right) \right]\)

\(= 2 \left[ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) – \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \right]\)

\(= 2 \left[ 1 – \frac{1}{2} \sqrt{2} \right]\)

\(= 2 – \sqrt{2}\)

Nomor 4
Tentukan nilai dari \(\sin 105^{\circ} \sin 15^{\circ}\)!

Jawab:

\(– 2 \sin \alpha \sin \beta = \cos \left( \alpha + \beta \right) – \cos \left( \alpha – \beta \right)\)

\(\sin \alpha \sin \beta = – \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \alpha + \beta \right) – \cos \left( \alpha – \beta \right) \right]\)

\(\sin 105^{\circ} \sin 15^{\circ} = – \frac{1}{2} \left[ \cos \left( 105^{\circ} + 15^{\circ} \right) – \cos \left( 105^{\circ} – 15^{\circ} \right) \right]\)

\(\sin 105^{\circ} \sin 15^{\circ} = – \frac{1}{2} \left[ \cos 120^{\circ} – \cos 90^{\circ} \right]\)

\(\sin 105^{\circ} \sin 15^{\circ} = – \frac{1}{2} \left[ – \frac{1}{2} – 0 \right]\)

\(\sin 105^{\circ} \sin 15^{\circ} = \frac{1}{4}\)

Nomor 5
Tentukanlah nilai dari \(\sin^{2} 195^{\circ} \sin^{2} 15^{\circ}\)!

Jawab:

\(\sin^{2} 195^{\circ} \sin^{2} 15^{\circ} = \left[ \sin 195^{\circ} \sin 15^{\circ} \right]^{2}\)

\(= \left[ – \frac{1}{2} \left( \cos \left( 195^{\circ} + 15^{\circ} \right) – \cos \left( 195^{\circ} – 15^{\circ} \right) \right) \right]^{2}\)

\(= \left[ – \frac{1}{2} \left( \cos 210^{\circ} – \cos 180^{\circ} \right) \right]^{2}\)

\(= \left[ – \frac{1}{2} \left(- \frac{1}{2} \sqrt{3} – (-1) \right) \right]^{2}\)

\(= \left[ – \frac{1}{2} \left(- \frac{1}{2} \sqrt{3} + 1 \right) \right]^{2}\)

\(= \left[ \frac{\sqrt{3}}{4} – \frac{1}{2} \right]^{2}\)

\(= \left[ \frac{\sqrt{3} – 2}{4} \right]^{2}\)

\(= \frac{3 – \left( 2 \times \sqrt{3} \times 2 \right) + 4}{16}\)

\(= \frac{3 – 4 \sqrt{3} + 4}{16}\)

\(= \frac{7 – 4 \sqrt{3}}{16}\)

Seperti itulah penjelasan lengkap mengenai pembuktian rumus perkalian sinus dan cosinus dari edumatik, jika belum paham baca kembali secara perlahan. Materi terakhir trigonometri dari edumatik adalah pembuktian rumus penjumlahan trigonometri.

Jangan lupa untuk share artikel ini agar orang lain paham dengan trigonometri, silahkan beri nilai tulisan ini jika memang sangat bermanfaat bagi Kamu!

Beri nilai tulisan ini!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

× 9 = 81