Pembuktian Rumus Trigonometri Sudut Rangkap dan Contoh Soal

Posted on
5/5 (2)

Edumatik.Net – Pada artikel ini akan dijelaskan mengenai pembuktian rumus sudut rangkap trigonometri, sebelumnya sudah dijelaskan pula mengenai pembuktian rumus jumlah dan selisih dua sudut, jika belum membacanya sebaikanya Kamu baca dulu tulisan tersebut karena untuk membuktikan rumus sudut rangkap bermula dari sana. Berikut adalah rumus sudut rangkap yang wajib Kamu pahami dan hafalkan:

Kita akan membuktikan rumus sudut rangkap trigonometri diatas berdasarkan rumus jumlah dua sudut, jika \(\alpha = \beta\) maka akan berlaku persamaan berikut:

\(\sin \left( \alpha + \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)

\(\sin \left( \alpha + \alpha \right) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha\)

\(\sin 2 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha\)

\(\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\) terbukti

\(\cos \left( \alpha + \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta\)

\(\cos \left( \alpha + \alpha \right) = \cos \alpha \cos \alpha – \sin \alpha \sin \alpha\)

\(\cos 2 \alpha = \cos^{2} \alpha – \sin^{2} \alpha\) terbukti

Selanjutnya untuk membuktikan dua rumus \(\cos 2 \alpha\) lainnya, Kita akan menggunakan rumusan pertama dan rumus identitas trigonometri. Jika lupa rumus identitas, sebaiknya dipelajari dulu tulisan tersebut.

\(\cos 2 \alpha = \cos^{2} \alpha – \sin^{2} \alpha\)

\(\cos 2 \alpha = \cos^{2} \alpha – \left( 1 – \cos^{2} \alpha \right)\)

\(\cos 2 \alpha = \cos^{2} \alpha – 1 + \cos^{2} \alpha\)

\(\cos 2 \alpha = 2 \cos^{2} \alpha – 1\) terbukti

\(\cos 2 \alpha = \cos^{2} \alpha – \sin^{2} \alpha\)

\(\cos 2 \alpha = \left( 1 – \sin^{2} \alpha \right) – \sin^{2} \alpha\)

\(\cos 2 \alpha = 1 – \sin^{2} \alpha – \sin^{2} \alpha\)

\(\cos 2 \alpha = 1 – 2 \sin^{2} \alpha\) terbukti

\(\tan \left( \alpha + \beta \right) = \frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1 – \tan \alpha \tan \beta}\)

\(\tan \left( \alpha + \alpha \right) = \frac {\tan \alpha + \tan \alpha}{1 – \tan \alpha \tan \alpha}\)

\(\tan 2 \alpha = \frac {2 \tan \alpha}{1 – \tan^{2} \alpha}\) terbukti

Nah sekarang Kamu sudah tahu pembuktian rumus sudut rangkap trigonometri, selanjutnya akan dipaparkan contoh soal sudut rangkap dan penyelesainnya. Simak baik-baik contoh soal berikut!

CONTOH SOAL

Nomor 1 : Sederhanakanlah bentuk berikut:

a). \(2 \sin 2 \alpha \cos 2 \alpha\)

b). \(2 \cos^{2} 4 \theta – 1\)

c). \(\cos^{2} \left( \frac {\alpha}{2} \right) – \sin^{2} \left( \frac {\alpha}{2} \right)\)

d). \(\frac {2 \tan 3A}{1 – \tan^{2} 3A}\)

Jawab:

Nomor 1a

\(2 \sin 2 \alpha \cos 2 \alpha\)

Kita misalkan \(2 \alpha = \beta\), sehingga

\(= 2 \sin \beta \cos \beta\)

\(= \sin 2 \beta\)

\(= \sin 2 \left( 2 \alpha \right)\)

\(= \sin 4 \alpha\)

Nomor 1b

\(2 \cos^{2} 4 \theta – 1\)

Misalkan \(4 \theta = \beta\), maka

\(= 2 \cos^{2} \beta – 1\)

\(= \cos 2 \beta\)

\(= \cos 2 \left( 4 \theta \right)\)

\(= \cos 8 \theta\)

Nomor 1c

\(\cos^{2} \left( \frac {\alpha}{2} \right) – \sin^{2} \left( \frac {\alpha}{2} \right)\)

Misalkan \(\frac{\alpha}{2} = \beta\), maka

\(= \cos^{2} \beta – \sin^{2} \beta\)

\(= \cos 2 \beta\)

\(= \cos 2 \left( \frac {\alpha}{2} \right)\)

\(= \cos \alpha\)

Nomor 1d

\(\frac {2 \tan 3A}{1 – \tan^{2} 3A}\)

Misalkan \(3A = B\), sehingga

\(= \frac {2 \tan B}{1 – \tan^{2} B}\)

\(= \tan 2B\)

\(= \tan 2(3A)\)

\(= \tan 6A\)

Nomor 2 : Berapakah nilai dari:

a). \(2 \sin^{2} 15^{\circ} – 1\)

b). \(2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}\)

c). \(\frac{1 – \tan^{2} 75^{\circ}}{2 \tan 75^{\circ}}\)

Jawab:

Nomor 2a

\(2 \sin^{2} 15^{\circ} – 1\)

Ingat rumus sebelumnya

\(\cos 2 \alpha = 1 – 2 \sin^{2} \alpha\)

\(2 \sin^{2} \alpha – 1 = – \cos 2 \alpha\)

Sehingga

\(2 \sin^{2} 15^{\circ} – 1 = – \cos 2 \left( 15^{\circ} \right)\)

\(2 \sin^{2} 15^{\circ} – 1 = – \cos 30^{\circ}\)

\(2 \sin^{2} 15^{\circ} – 1 = – \frac{1}{3} \sqrt{3}\)

Nomor 2b

\(2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}\)

Ingat \(\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\), sehingga

\(2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} = \sin 2 \left( 15^{\circ} \right)\)

\(2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} = \sin 30^{\circ}\)

\(2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} = \frac{1}{2}\)

Nomor 2c

\(\frac{1 – \tan^{2} 75^{\circ}}{2 \tan 75^{\circ}}\)

Coba perhatikan! Bentuk diatas merupakan kebalikan dari rumus \(\tan 2 \alpha\), sehingga

\(\frac{1 – \tan^{2} 75^{\circ}}{2 \tan 75^{\circ}} = \frac{1}{\tan 2 \left( 75^{\circ} \right)}\)

\(\frac{1 – \tan^{2} 75^{\circ}}{2 \tan 75^{\circ}} = \frac{1}{\tan 150^{\circ}}\)

\(\frac{1 – \tan^{2} 75^{\circ}}{2 \tan 75^{\circ}} = \frac {1}{- \frac{1}{\sqrt{3}}}\)

\(\frac{1 – \tan^{2} 75^{\circ}}{2 \tan 75^{\circ}} = – \sqrt{3}\)

Nomor 3 : Diketahui \(\sin A = \frac {4}{5}\), untuk \(A\) sudut tumpul. Tentukanlah!

a). \(\sin 2A\)

b). \(\cos 2A\)

c). \(\tan 2A\)

Jawab:

\(\sin A = \frac {4}{5}\), untuk \(A\) sudut tumpul (artinya hanya sin yang positif)

Ingat! \(\sin A = \frac {De}{Mi} = \frac {4}{5}\). Dengan menggunkan pythagoras didapatkan sisi sampingnya \(Sa = 3\)

Nomor 3a

\(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\)

\(\sin 2A = 2 \times \frac{4}{5} \times \left( – \frac{3}{5} \right)\)

\(\sin 2A = – \frac{24}{25}\)

Nomor 3b

\(\cos 2A = \cos^{2} A – \sin^{2} A\)

\(\cos 2A = \left(\frac{-3}{5} \right)^{2} – \left( \frac{4}{5} \right)^{2}\)

\(\cos 2A = \frac{9}{25} – \frac{16}{25}\)

\(\cos 2A = – \frac{7}{25}\)

Nomor 3c

\(\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 – \tan^{2} A}\)

\(\tan 2A = \frac{2 \times \left( – \frac{4}{3} \right)}{1 – \left( – \frac{4}{3} \right)^{2}}\)

\(\tan 2A = \frac{- \frac{8}{3}}{1 – \frac{16}{9}}\)

\(\tan 2A = \frac{- \frac{8}{3}}{ \frac{9}{9} – \frac{16}{9}}\)

\(\tan 2A = \frac{- \frac{8}{3}}{ \frac{-7}{9}}\)

\(\tan 2A = – \frac{8}{3} \times \left( – \frac{9}{7} \right)\)

\(\tan 2A = \frac {24}{7}\)

Nomor 4 : Jika \(\tan x = \frac{1}{2}\) dan \(\tan y = \frac {1}{3}\), hitunglah!

a). \(\tan 2x\)

b). \(\tan 2y\)

c). \(\tan \left( 2x + y \right)\)

Jawab:

Nomor 4a

\(\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 – \tan^{2} x}\)

\(\tan 2x = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 – \left( \frac{1}{2} \right)^{2}}\)

\(\tan 2x = \frac{1}{1 – \frac{1}{4}}\)

\(\tan 2x = \frac{1}{ \frac{3}{4}}\)

\(\tan 2x = \frac{4}{3}\)

Nomor 4b

\(\tan 2y = \frac{2 \tan y}{1 – \tan^{2} y}\)

\(\tan 2y = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1 – \left( \frac{1}{3} \right)^{2}}\)

\(\tan 2y = \frac{ \frac{2}{3}}{1 – \frac{1}{9}}\)

\(\tan 2y = \frac{ \frac{2}{3}}{ \frac{8}{9}}\)

\(\tan 2y = \frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\)

\(\tan 2y = \frac{3}{4}\)

Nomor 4c

\(\tan \left( 2x + y \right) = \frac{\tan 2x + \tan y}{1 – \tan 2x \tan y}\)

\(\tan \left( 2x + y \right) = \frac{ \frac{4}{3} + \frac{1}{3}}{1 – \left( \frac{4}{3} \times \frac{1}{3} \right)}\)

\(\tan \left( 2x + y \right) = \frac{ \frac{5}{3}}{1 – \frac{4}{9}}\)

\(\tan \left( 2x + y \right) = \frac{ \frac{5}{3}}{ \frac{5}{9}}\)

\(\tan \left( 2x + y \right) = \frac{5}{3} \times \frac{9}{5}\)

\(\tan \left( 2x + y \right) = 3\)

Itulah pembahasan lengkap sudut rangkap trigonometri. Mulai dari pembuktian rumus, contoh soal, serta pembahasannya. Jika masih belum jelas silahkan dibaca lagi secara perlahan. Selanjutnya yang akan Kita pelajari adalah pembuktian rumus perkalian trigonometri.

Apabila artikel ini bermanfaat silahkan bagikan kesemua media sosial Kamu, dan jangan lupa untuk memberi penilaian terhadap tulisan ini. Jika tulisan ini bermanfaat silahkan beri nilai bintang 5 yaa. See you . . . bye

Beri nilai tulisan ini!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

+ 15 = 23