Pembuktian Sudut Berelasi dan Contoh Soal

Posted on
5/5 (1)

Edumatik.Net – Ada banyak sekali rumus untuk sudut-sudut berelasi dalam trigonometri, yaitu rumus sudut berelasi dikuadran I sampai rumus sudut berelasi dikuadran IV. Tapi tenang saja, ada tips dan trik untuk menghafalnya. Sebelum membahas lebih jauh, jika Kamu belum membaca artikel sebelumnya sebaiknya baca terlebih dahulu sebab materinya saling berkaitan. Artikel sebelumnya yaitu pembuktian tanda perbandingan trigonometri. Nah dibawah ini adalah rumus-rumus rudut berelasi.

Relasi Sudut di Kuadran I

\(\sin \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \cos \theta\)
\(\cos \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \sin \theta\)
\(\tan \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \cot \theta\)
\(\cot \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \tan \theta\)
\(\sec \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \csc \theta\)
\(\csc \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \sec \theta\)
\(\sin \left( 360^{\circ} + \theta \right) = \sin \theta\)
\(\cos \left( 360^{\circ} + \theta \right) = \cos \theta\)
\(\tan \left( 360^{\circ} + \theta \right) = \tan \theta\)
\(\cot \left( 360^{\circ} + \theta \right) = \cot \theta\)
\(\sec \left( 360^{\circ} + \theta \right) = \sec \theta\)
\(\csc \left( 360^{\circ} + \theta \right) = \csc \theta\)


Relasi Sudut di Kuadran II

\(\sin \left( 90^{\circ} + \theta \right) = \cos \theta\)
\(\cos \left( 90^{\circ} + \theta \right) = -\sin \theta\)
\(\tan \left( 90^{\circ} + \theta \right) = -\cot \theta\)
\(\cot \left( 90^{\circ} + \theta \right) = -\tan \theta\)
\(\sec \left( 90^{\circ} + \theta \right) = -\csc \theta\)
\(\csc \left( 90^{\circ} + \theta \right) = \sec \theta\)
\(\sin \left( 180^{\circ} – \theta \right) = \sin \theta\)
\(\cos \left( 180^{\circ} – \theta \right) = -\cos \theta\)
\(\tan \left( 180^{\circ} – \theta \right) = -\tan \theta\)
\(\cot \left( 180^{\circ} – \theta \right) = -\cot \theta\)
\(\sec \left( 180^{\circ} – \theta \right) = -\sec \theta\)
\(\csc \left( 180^{\circ} – \theta \right) = \csc \theta\)


Relasi Sudut di Kuadran III

\(\sin \left( 180^{\circ} + \theta \right) = -\sin \theta\)
\(\cos \left( 180^{\circ} + \theta \right) = -\cos \theta\)
\(\tan \left( 180^{\circ} + \theta \right) = \tan \theta\)
\(\cot \left( 180^{\circ} + \theta \right) = \cot \theta\)
\(\sec \left( 180^{\circ} + \theta \right) = -\sec \theta\)
\(\csc \left( 180^{\circ} + \theta \right) = -\csc \theta\)
\(\sin \left( 270^{\circ} – \theta \right) = -\cos \theta\)
\(\cos \left( 270^{\circ} – \theta \right) = -\sin \theta\)
\(\tan \left( 270^{\circ} – \theta \right) = \cot \theta\)
\(\cot \left( 270^{\circ} – \theta \right) = \tan \theta\)
\(\sec \left( 270^{\circ} – \theta \right) = -\csc \theta\)
\(\csc \left( 270^{\circ} – \theta \right) = -\sec \theta\)


Relasi Sudut di Kuadran IV

\(\sin \left( 270^{\circ} + \theta \right) = -\cos \theta\)
\(\cos \left( 270^{\circ} + \theta \right) = \sin \theta\)
\(\tan \left( 270^{\circ} + \theta \right) = -\cot \theta\)
\(\cot \left( 270^{\circ} + \theta \right) = -\tan \theta\)
\(\sec \left( 270^{\circ} + \theta \right) = \csc \theta\)
\(\csc \left( 270^{\circ} + \theta \right) = -\sec \theta\)
\(\sin \left( 360^{\circ} – \theta \right) = -\sin \theta\)
\(\cos \left( 360^{\circ} – \theta \right) = \cos \theta\)
\(\tan \left( 360^{\circ} – \theta \right) = -\tan \theta\)
\(\cot \left( 360^{\circ} – \theta \right) = -\cot \theta\)
\(\sec \left( 360^{\circ} – \theta \right) = \sec \theta\)
\(\csc \left( 360^{\circ} – \theta \right) = -\csc \theta\)


Relasi Sudut \(\left( – \theta \right)\)

\(\sin \left( – \theta \right) = -\sin \theta\)
\(\cos \left( – \theta \right) = \cos \theta\)
\(\tan \left( – \theta \right) = -\tan \theta\)
\(\cot \left( – \theta \right) = -\cot \theta\)
\(\sec \left( – \theta \right) = \sec \theta\)
\(\csc \left( – \theta \right) = -\csc \theta\)


Relasi Sudut Lebih dari \(360^{\circ}\)

\(\sin \left( \theta + k . 360^{\circ} \right) = \sin \theta\)
\(\cos \left( \theta + k . 360^{\circ} \right) = \cos \theta\)
\(\tan \left( \theta + k . 360^{\circ} \right) = \tan \theta\)
\(\cot \left( \theta + k . 360^{\circ} \right) = \cot \theta\)
\(\sec \left( \theta + k . 360^{\circ} \right) = \sec \theta\)
\(\csc \left( \theta + k . 360^{\circ} \right) = \csc \theta\)

Santaaaii!!
Jangan langsung kabur gara-gara melihat rumus yang banyak itu yaa. Ada teknik menghafalnya kok, syaratnya Kamu harus tahu hubungan pertama dan hubungan kedua perbandingan trigonometri, kemudian tanda perbandingan trigonometri berbagai kuadaran. Kalau belum tahu, coba baca dulu di artikel sebelumnya.


Tips Menghafal Rumus

Tips ini terlihat panjang karena saya uraikan dalam bentuk kata-kata, jika Kamu sudah menguasainya tips ini sangatlah simpel. Jadi yang sabar yaa dalam mempelajarinya, Oke!

Hubungan pertama dapat digunakan untuk mengetahui tanda positif dan negatif perbandingan trigonometri diberbagai kuadran, materinya sudah dijelaskan dipembahasan sebelumnya, jika belum membacanya silahkan baca dulu DISINI. Hubungan kedua ini dapat Kita gunakan untuk melihat perubahan bentuk trigonometrinya.

Note: Mungkin “hubungan pertama” dan “hubungan kedua” ini hanya Kamu dapatkan diblog ini saja, sebab ini adalah metode yang Saya gunakan untuk menghafal semua rumus diatas.

Baca Juga: Pembuktian Rumus Aturan Cosinus dan Contoh Soal

Sekali lagi Saya ingatkan, agar Kamu dapat mengikuti tips menghafal rumus ini Kamu haru tahu dulu tanda positif dan negatif perbandingan trigonometri diberbagai kuadran (menggunakan hubungan pertama), hafal hubungan kedua, dan ingat letak derajat. Hanya 3 hal itu aja kok, gampangkan?

Nah maksudnya apa sih letak derajat? jawabannya bisa Kamu lihat dibawah ini.

Note: Jika menggunakan sumbu X \(\left( 180^{\circ} dan 360^{\circ} \right)\), maka perbandingan trigonometrinya tidak berubah. Jika menggunakan sumbu Y \(\left( 90^{\circ} dan 270^{\circ} \right)\), maka berbandingan trigonometrinya berubah dengan menggunakan aturan “Hubungan Kedua”.

Contoh 1:

\(\sin \left( 180^{\circ} + \theta \right)\) sama dengan?

Jawab:

Oke sekarang Kita analisis dulu.

(1) Sumbu yang digunakan adalah sumbu X yaitu \(\left( 180^{\circ} \right)\). Artinya perbandingan trigonometrinya gak berubah, yaitu sinus tetap sinus lagi.

(2) Posisi derajatnya berada dikuadran III, yaitu \(\left( 180^{\circ} + \theta \right)\). Nah sekarang Kita lihat tanda sinus dikuadran III, ternyata tanda sinus dikuadran III adalah \(\left( – \right)\).

Dari analisis diatas dapat disimpulkan bahwa:
\(\sin \left( 180^{\circ} + \theta \right) = – sin \theta\)

Gimana paham?
Agar lebih paham coba lihat lagi contoh 2 dibawah ini!

Contoh 2:

\(\cos \left( 90^{\circ} + \theta \right)\) sama dengan?

(1) Sumbu yang digunakan adalah sumbu Y yaitu \(\left( 90^{\circ} \right)\). Artinya perbandingan trigonometrinya berubah berdasarkan ketentuan “Hubungan Kedua”, yaitu cosinus menjadi sinus.

(2) Posisi derajatnya berada dikuadran II, yaitu \(\left( 90^{\circ} + \theta \right)\). Nah sekarang Kita lihat tanda cosinus dikuadran II, ternyata tanda cosinus dikuadran II adalah \(\left( – \right)\).

Dari analisis diatas dapat disimpulkan bahwa:
\(\cos \left( 90^{\circ} + \theta \right) = – sin \theta\)

Gimana sekarang, pahamkan? paham dooonk.
Kamu gak perlu menghafal semuanya kok agar Kamu bisa inget rumus diatas, Kamu hanya perlu menganalisis aja bentuknya kemudian selesaikan dengan tips dan trik yang Saya bahas barusan.


Pembuktian Sudut Berelasi

Kamu mungkin bertanya-tanya kenapa sih sinus bisa berubah jadi cosinus? kenapa tangen berubah jadi cotangen? kenapa ada yang berubah ada yang egak?

Nah sekarang saya akan jelaskan sedikit pembuktiannya, Saya akan buktikan hanya di kuadran I saja. Pembuktian dikuadran lainnya kurang lebih hampir sama dengan pembuktian dikuadran I. Jadi untuk dikuadran lainnya, Kamu buktikan sendiri aja yaa.

Baca Juga: Pembuktian Identitas Trigonometri

Kita tahu bahwa tanda perbandingan trigonometri dikuadran I semuanya bertanda positif, hasilnyapun pasti bertanda positif juga. Sehingga yang berubah hanya perbandingan trigonometrinya saja, untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini!

Perhatikan segitiga kuning, titik \(P(a,b)\)
Diketahui bahwa \(De=b, Sa=a, Mi=r, sudut = \theta\), sehingga perbandingan trigonometrinya sebagai berikut:

\(\sin \theta = \frac {De}{Mi} = \frac {b}{r}\)
\(\cos \theta = \frac {Sa}{Mi} = \frac {a}{r}\)
\(\tan \theta = \frac {De}{Sa} = \frac {b}{a}\)
\(\cot \theta = \frac {Sa}{De} = \frac {a}{b}\)
\(\sec \theta = \frac {Mi}{Sa} = \frac {r}{a}\)
\(\csc \theta = \frac {Mi}{De} = \frac {r}{b}\)


Perhatikan segitiga merah, titik \(P'(b,a)\)
Diketahui bahwa \(De=a, Sa=b, Mi=r, sudut = \left( 90^{\circ} – \theta \right)\), sehingga perbandingan trigonometrinya sebagai berikut:

\(\sin \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \frac {De}{Mi} = \frac {a}{r}\)
\(\cos \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \frac {Sa}{Mi} = \frac {b}{r}\)
\(\tan \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \frac {De}{Sa} = \frac {a}{b}\)
\(\cot \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \frac {Sa}{De} = \frac {b}{a}\)
\(\sec \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \frac {Mi}{Sa} = \frac {r}{b}\)
\(\csc \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \frac {Mi}{De} = \frac {r}{a}\)


Dari kedua uraian diatas dapat disimpulkan bahwa rumus sudut berelasi dikuadran I salah satunya sebagai berikut:

\(\sin \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \cos \theta\)
\(\cos \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \sin \theta\)
\(\tan \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \cot \theta\)
\(\cot \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \tan \theta\)
\(\sec \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \csc \theta\)
\(\csc \left( 90^{\circ} – \theta \right) = \sec \theta\)

Nah sekarang sudah terbukti kan? Jadi sudah dijawab yaa pertanyaan-pertanyaan Kamu yang tadi.


Contoh Soal Sudut Berelasi

(1). Tentukanlah nilai dari:

a). \(\cos 150^{\circ}\)
b). \(\tan 120^{\circ}\)
c). \(\sin 210^{\circ}\)
d). \(\sec 300^{\circ}\)


Jawab:

a). \(\cos 150^{\circ} = \cos \left( 180^{\circ} – 30^{\circ} \right)\) .

\(\cos 150^{\circ} = – \cos 30^{\circ}\) .

\(\cos 150^{\circ} = – \frac{1}{2} \sqrt {3}\) .


b). \(\tan 120^{\circ} = \tan \left( 180^{\circ} – 60^{\circ} \right)\) .

\(\tan 120^{\circ} = – \tan 60^{\circ}\) .

\(\tan 120^{\circ} = – \sqrt{3}\) .


c). \(\sin 210^{\circ} = \sin \left( 270^{\circ} – 60^{\circ} \right)\) .

\(\sin 210^{\circ} = – \cos 60^{\circ}\) .

\(\sin 210^{\circ} = – \frac {1}{2}\) .


d). \(\sec 300^{\circ} = \sec \left( 360^{\circ} – 60^{\circ} \right) \) .

\(\sec 300^{\circ} = \sec 60^{\circ}\) .

\(\sec 300^{\circ} = \frac{1}{\cos 60^{\circ}}\) .

\(\sec 300^{\circ} = \frac{1}{\frac{1}{2}}\) .

\(\sec 300^{\circ} = 2\) .


(2). Hitunglah nilai dari:

a). \(\sin 56^{\circ} – \cos 34^{\circ}\)
b). \(\frac {\tan 57^{\circ}}{\cot 33^{\circ}}\)


Jawab:

a). \(\sin 56^{\circ} – \cos 34^{\circ}=[\sin \left( 90^{\circ} – 34^{\circ} \right)] – \cos 34^{\circ}\) .

\(\sin 56^{\circ} – \cos 34^{\circ} = \cos 34^{\circ} – \cos 34^{\circ}\) .

\(\sin 56^{\circ} – \cos 34^{\circ} =0\) .


b). \(\frac {\tan 57^{\circ}}{\cot 33^{\circ}} = \frac{\tan \left( 90^{\circ} – 33^{\circ} \right)}{\cot 33^{\circ}}\) .

\(\frac {\tan 57^{\circ}}{\cot 33^{\circ}} = \frac {\cot 33^{\circ}}{\cot 33^{\circ}}\) .

\(\frac {\tan 57^{\circ}}{\cot 33^{\circ}} = 1\) .


(3). Tentukanlah nilai dari \(\frac {\sin 150^{\circ} + \sin 30^{\circ}}{2 \cos 120^{\circ}}\) !

Jawab:

\(= \frac {\sin \left( 180^{\circ} – 30^{\circ} \right) + \sin 30^{\circ}}{2 \cos \left( 90^{\circ} + 30^{\circ} \right)}\) .

\(= \frac {\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}}{2 \left( – \sin 30^{\circ} \right)}\) .

\(= \frac {2 \sin 30^{\circ}}{-2 \sin 30^{\circ}}\) .

\(= -1\) .


(4). Jika \(\sin 35^{\circ} = m\), tentukanlah \(\cos 125^{\circ}\) !

Jawab:

\(\cos 125^{\circ} = \cos \left( 90^{\circ} + 35^{\circ} \right)\) .

\(\cos 125^{\circ} = – \sin 35^{\circ}\) .

\(\cos 125^{\circ} = -m\) .


(5). Tentukanlah nilai dari \(\left( \sin 225^{\circ} . \cos 240^{\circ} . \tan 120^{\circ} \right)\) !

Jawab:

\(\sin 225^{\circ} . \cos 240^{\circ} . \tan 120^{\circ}\) .

\(= \sin \left( 180^{\circ} + 45^{\circ} \right) . \cos \left( 180^{\circ} + 60^{\circ} \right) . \tan \left( 180^{\circ} – 60^{\circ} \right)\) .

\(= \left( -\sin 45^{\circ} \right) . \left( -\cos 60^{\circ} \right) . \left( -\tan 60^{\circ} \right)\) .

\(= \left( -\frac {1}{2} \sqrt {2} \right) . \left( -\frac {1}{2} \right) . \left( -\sqrt {3} \right)\) .

\(= -\frac {1}{4} \sqrt {6}\) .


(6). Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan
\(\sin \left( 10^{\circ} – 3x \right) = \cos \left(2x + 60^{\circ} \right)\) .

Jawab:

\(\sin \left( 10^{\circ} – 3x \right) = \cos \left(2x + 60^{\circ} \right)\) .

\(\sin \left( 10^{\circ} – 3x \right) = \cos \left(90 – (30^{\circ}-2x) \right)\) .

\(\sin \left( 10^{\circ} – 3x \right) = \sin \left( 30^{\circ}-2x \right)\) .

Dengan menggunakan konsep kesamaan didapatkan

\(10^{\circ} – 3x = 30^{\circ} – 2x\) .

\(-3x + 2x = 30^{\circ} – 10^{\circ}\) .

\(-x =20^{\circ}\) .

\(x = -20^{\circ}\) .


(7). Jika \(\beta\) dikuadran II dan \(\sin \beta = \frac {5}{13}\), tentukanlah \(\frac {\tan \beta}{\sec \beta}\)

Jawab:

\(\sin \beta = \frac {5}{13} = \frac {De}{Mi}\) .

Dengan menggunakan pythagoras didapatkan \(Sa = 12\)

Tanda tangen dikuadran II adalah \(\left( – \right)\), sehingga \(\tan \beta = – \frac {5}{12}\)

Tanda secan dikuadran II adalah \(\left( – \right)\), sehingga \(\sec \beta = – \frac {13}{12}\)

Sehingga,

\(\frac {\tan \beta}{\sec \beta} = \frac {-\frac {5}{12}}{-\frac {13}{12}}\) .

\(\frac {\tan \beta}{\sec \beta} = \left( – \frac {5}{12} \right) \times \left( -\frac {12}{13} \right)\) .

\(\frac {\tan \beta}{\sec \beta} = \frac {5}{13}\) .


(8). Jika \(\sin t = – \frac {3}{5}\) dengan \(\pi < t < \frac {3}{2} \pi\), tentukanlah nilai \(\tan t\) !

Jawab:

\(\pi < t < \frac {3}{2} \pi\) artinya t tertelak di kuadran III.

\(\sin t = – \frac {3}{5}\) adalah pernyataan yang benar, sebab tanda sinus di kuadran III memang \(\left( – \right)\). Agar lebih mudah, Kita hilangkan dulu tanda negatifnya sehingga \(\sin t = \frac {3}{5} = \frac {De}{Mi}\), dengan menggunakan pythagoras didapatkan \(Sa=4\)

Tanda tangen di kuadran III adalah \(\left( + \right)\), nilai perbandingannya pun \(\left( + \right)\). Sehingga,

\(\tan t = \frac {De}{Sa} = \frac {3}{4}\)


(9). Jika \(\tan \alpha = – \frac {1}{2}\) dengan \(90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}\), tentukanlah nilai dari \(\frac{2 \sin \alpha + 3 \cos \alpha}{\sin \alpha – \cos \alpha}\) !

Jawab:

Agar lebih mudah, Kita hilangkan dulu tanda negatifnya, sehingga didapatkan \(\tan \alpha = \frac {1}{2} = \frac {De}{Sa}\). Dengan menggunakan pythagoras didapatkan \(Mi = \sqrt {5}\).

Tanda sinus dikuadran II adalah positif, sehingga menjadi \(\sin \alpha = \frac {1}{\sqrt{5}}\)

Tanda cosinus dikuadran II adalah negatif, sehingga menjadi \(\cos \alpha = – \frac {2}{\sqrt{5}}\)

\(\frac{2 \sin \alpha + 3 \cos \alpha}{\sin \alpha – \cos \alpha}\) .

\(= \frac {2 \left( \frac {1}{\sqrt {5}} \right) + 3 \left( -\frac {2}{\sqrt {5}} \right)}{\frac {1}{\sqrt {5}} – \left( -\frac {2}{\sqrt {5}} \right)}\) .

\(= \frac { \frac {2}{\sqrt {5}} – \frac {6}{\sqrt {5}}}{\frac {1}{\sqrt {5}} + \frac {2}{\sqrt {5}}}\) .

\(= \frac { -\frac {4}{\sqrt {5}}}{\frac {3}{\sqrt {5}}}\) .

\(= -\frac {4}{3}\) .

Nah itulah pembahasan mengenai sudut berelasi, semoga Kamu dapat memahami apa yang Saya sampaikan. Oh ya jika artikel ini bermanfaat silahkan share ke semua media sosial Kamu. See you, Bye.

Beri nilai tulisan ini!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

74 + = 84