Pembuktian Tanda Perbandingan Trigonometri

Posted on
Belum ada peringkat.

Edumatik.Net – Sebelumnya sudah dibahas mengenai pembuktian sudut istimewa, sekarang akan dibahas mengenai tanda positif dan negatif perbandingan trigonometri di semua kuadran. Pada gambar dibawah ini, di kuadran I semuanya bertanda positif, di kudran II hanya sinus dan cosecan yang bertanda positif sedangkan yang lainnya bertanda negatif, dan seterusnya.

Berikut adalah pembuktian kenapa disetiap kuadran tanda perbandingan trigonometrinya berbeda-beda.

Kuadran I

\(\sin \theta = \frac {y}{r} = \frac {\left( + \right)}{\left( + \right)} = \left( + \right)\)
\(\cos \theta = \frac {x}{r} = \frac {\left( + \right)}{\left( + \right)} = \left( + \right)\)
\(\tan \theta = \frac {y}{x} = \frac {\left( + \right)}{\left( + \right)} = \left( + \right)\)
\(\cot \theta = \frac {x}{y} = \frac {\left( + \right)}{\left( + \right)} = \left( + \right)\)
\(\sec \theta = \frac {r}{x} = \frac {\left( + \right)}{\left( + \right)} = \left( + \right)\)
\(\csc \theta = \frac {r}{y} = \frac {\left( + \right)}{\left( + \right)} = \left( + \right)\)


Kuadran II

\(\sin \theta = \frac {y}{r} = \frac {\left( + \right)}{\left( + \right)} = \left( + \right)\)
\(\cos \theta = \frac {x}{r} = \frac {\left( – \right)}{\left( + \right)} = \left( – \right)\)
\(\tan \theta = \frac {y}{x} = \frac {\left( + \right)}{\left( – \right)} = \left( – \right)\)
\(\cot \theta = \frac {x}{y} = \frac {\left( – \right)}{\left( + \right)} = \left( – \right)\)
\(\sec \theta = \frac {r}{x} = \frac {\left( + \right)}{\left( – \right)} = \left( – \right)\)
\(\csc \theta = \frac {r}{y} = \frac {\left( + \right)}{\left( + \right)} = \left( + \right)\)

Bagaimana untuk di kuadran III dan kuadran IV? Dengan menggunakan cara yang sama, didapatkanlah rumusan seperti berikut:

Kuadran III

\(\sin \theta = \frac {y}{r} = \frac {\left( – \right)}{\left( + \right)} = \left( – \right)\)
\(\cos \theta = \frac {x}{r} = \frac {\left( – \right)}{\left( + \right)} = \left( – \right)\)
\(\tan \theta = \frac {y}{x} = \frac {\left( – \right)}{\left( – \right)} = \left( + \right)\)
\(\cot \theta = \frac {x}{y} = \frac {\left( – \right)}{\left( – \right)} = \left( + \right)\)
\(\sec \theta = \frac {r}{x} = \frac {\left( + \right)}{\left( – \right)} = \left( – \right)\)
\(\csc \theta = \frac {r}{y} = \frac {\left( + \right)}{\left( – \right)} = \left( – \right)\)


Kuadran IV

\(\sin \theta = \frac {y}{r} = \frac {\left( – \right)}{\left( + \right)} = \left( – \right)\)
\(\cos \theta = \frac {x}{r} = \frac {\left( + \right)}{\left( + \right)} = \left( + \right)\)
\(\tan \theta = \frac {y}{x} = \frac {\left( – \right)}{\left( + \right)} = \left( – \right)\)
\(\cot \theta = \frac {x}{y} = \frac {\left( + \right)}{\left( – \right)} = \left( – \right)\)
\(\sec \theta = \frac {r}{x} = \frac {\left( + \right)}{\left( + \right)} = \left( + \right)\)
\(\csc \theta = \frac {r}{y} = \frac {\left( + \right)}{\left( – \right)} = \left( – \right)\)


Contoh:

1). Tentukan tanda dari setiap perbandingan trigonometri berikut:

a) \(\tan 135^{\circ}\)b) \(\sin 160^{\circ}\)
c) \(\cos 240^{\circ}\)d) \(\sec 190^{\circ}\)
e) \(\csc 134^{\circ}\)f) \(\cot 260^{\circ}\)

Jawab:

a) Tanda untuk \(\tan 135^{\circ}\) adalah \(\left( – \right)\). Alasan: \(135^{\circ}\) terletak di kudran II, tanda perbandingan untuk \(\tan \theta\) di kuadran II adalah \(\left( – \right)\).

b) Tanda untuk \(\sin 160^{\circ}\) adalah \(\left( + \right)\). Alasan: \(160^{\circ}\) terletak di kudran II, tanda perbandingan untuk \(\sin \theta\) di kuadran II adalah \(\left( + \right)\).

c) Tanda untuk \(\cos 240^{\circ}\) adalah \(\left( – \right)\). Alasan: \(240^{\circ}\) terletak di kudran III, tanda perbandingan untuk \(\cos \theta\) di kuadran III adalah \(\left( – \right)\).

d) Tanda untuk \(\sec 190^{\circ}\) adalah \(\left( – \right)\). Alasan: \(190^{\circ}\) terletak di kudran III, tanda perbandingan untuk \(\sec \theta\) di kuadran III adalah \(\left( – \right)\).

e) Tanda untuk \(\csc 134^{\circ}\) adalah \(\left( + \right)\). Alasan: \(134^{\circ}\) terletak di kudran II, tanda perbandingan untuk \(\csc \theta\) di kuadran II adalah \(\left( + \right)\).

f) Tanda untuk \(\cot 260^{\circ}\) adalah \(\left( + \right)\). Alasan: \(260^{\circ}\) terletak di kudran III, tanda perbandingan untuk \(\cot \theta\) di kuadran III adalah \(\left( + \right)\).


2). Misalkan A adalah titik \(\left( -4,-3 \right)\). Jika \(\alpha\) adalah sudut yang dibentuk oleh sisi OA dengan sumbu X, tentukanlah nilai dari:

a) \(\sin \alpha\) b) \(\cos \alpha\) c) \(\tan \alpha\)

Jawab:

Diketahui titik \(\left( -4,-3 \right)\) terletak di kuadran III, \(Sa = x = -4, De = y = -3, Mi = r = 5\) (gunakan pythagoras untuk mencari r)

a) \(\sin \alpha = \frac {y}{r} = \frac {-3}{5} =- \frac {3}{5}\) Tandanya \(\left( – \right)\), sesuai dengan rumusan diatas bahwa tanda perbandingan untuk \(\sin \theta\) di kuadran III adalah \(\left( – \right)\).

b) \(\cos \alpha = \frac {x}{r} = \frac {-4}{5} =- \frac {4}{5}\) Tandanya \(\left( – \right)\), sesuai dengan rumusan diatas bahwa tanda perbandingan untuk \(\cos \theta\) di kuadran III adalah \(\left( – \right)\).

c) \(\tan \alpha = \frac {y}{x} = \frac {-3}{-4} =\frac {3}{4}\) Tandanya \(\left( + \right)\), sesuai dengan rumusan diatas bahwa tanda perbandingan untuk \(\tan \theta\) di kuadran III adalah \(\left( + \right)\).

Oke itulah pembahasan mengenai pembuktian tanda positif dan negatif perbandingan trigonometri diberbagai kuadran, agar Kamu tidak ketinggalan artikel berikutnya silahkan berlangganan dengan cara memasukan nama dan email Kamu di kolom pop up yang sudah disediakan.

Jika artikel ini bermanfaat silahkan share kesemua media sosial Kamu, sampai ketemu di artikel selanjutnya bye-bye.

Beri nilai tulisan ini!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

97 − = 90