konsep dasar turunan fungsi aljabar
sumber: freepik.com

Pengantar Turunan Fungsi Aljabar

Posted on 191 views

Edumatik.Net – Ini adalah artikel pertama turunan fungsi aljabar yang akan kita pelajari, oleh karena itu pada pembahasan pertama ini lebih menekankan kepada konsep dasar turunan fungsi aljabar.

Konsep dasar turunan fungsi aljabar sebenarnya membahas tentang gradien garis singgung. Selanjutnya dalam pengantar turunan ini kita akan belajar bagaimana cara mencari persamaan garis singgung kurva.

Konsep turunan fungsi aljabar sangat penting untuk dipalajari terlebih dahulu sebelum kamu mempelajari materi-materi lainnya dalam turunan.

Pengertian dasar turunan fungsi aljabar tak terlepas dari materi limit fungsi aljabar, konsep limit ini nantinya akan Kita gunakan untuk mengetahui cara mencari gradien persamaan garis singgung dengan menggunakan limit fungsi.

Oke, untuk memahami hubungan turunan pertama dengan gradien garis singgung lihatlah gambar dibawah ini!

Perhatikan Gambar 1
Garis-garis sekan adalah garis yang memotong kurva di titik \(P\) dan \(Q\). Jika garis sekan tersebut diputar searah jarum jam dengan titik pusat di \(P\), maka garis tersebut akan bergerak kebawah sehingga hanya memotong kurva di titik \(P\) saja. Garis yang hanya memotong kurva di titik \(P\), kita namakan dengan garis tangen atau garis singgung kurva.

Perhatikan Gambar 2
Jangan dulu pusing dengan banyaknya garis dan kurva, saya akan bantu Kamu sampai benar-benar paham. Dibawah ini adalah penjelasan dari Gambar 2, simak baik-baik yaa!

  • Pada sebuah koordinat kartesius ada sebuah kurva \(y = f(x)\).
  • Kemudian ada sebuah garis tangen yang memotog kurva di titik \(P\). Selain itu ada juga garis sekan yang memotong kurva di titik \(P\) dan \(Q\).
  • Dari titik \(P\) kita tarik sebuah garis (garis merah), begitupun dari titik \(Q\) Kita taris sebuah garis (garis putih) sehingga membentuk sebuah segitiga siku-siku.
  • Koordinat titik \(P\) untuk \(x\) nya kita misalkan dengan \(c\). Maka sudah jelas untuk nilai \(y\) nya adalah \(y=f(c)\) yang berasal dari rumusan kurva \(y=f(x)\) . Sehingga dapat disimpukan bahwa koordinat \(P\) adalah \(\left(c, (f(c) \right)\).
  • Kita misalkan panjang garis yang berwarna merah adalah \(h\). Maka koordinat titik \(Q\) untuk absisnya adalah \(c+h\), sehingga untuk ordinatnya adalah \(f(c+h)\). Sehingga koordinat \(Q\) adalah \(\left( (c+h), f(c+h) \right)\).
  • Akibatnya panjang garis putih adalah \(f(c+h) – f(c)\)

Kamu masih ingatkan apa itu gradien sebuah garis?

Itu lho nilai kemiringan sebuah garis, nilainya itu ada yang positif, negatif, dan nol. Nah gradien/kemiringan garis itu disimbolkan dengan huruf \(m\). Adapun rumus dasar gradien adalah sebagai berikut:

$$m = \frac{y}{x}$$

Setiap garis pasti mempunyai nilai gradien, kecuali garis vertikal. Agar tidak tertukar, Kita simbolkan gradien garis sekan/garis tali busur dengan \(m_{sec}\) dan gradien garis tangen/garis singgung dengan \(m_{tan}\).

Sederhananya gradien itu merupakan perbandingan tinggi dengan alas sebuah segitiga siku-siku yang terbentuk dari perpotongan garis dan kurva. Sehingga rumusan gradien garis sekan adalah sebagai berikut:

Di atas adalah rumus gradien garis sekan, sekarang kita akan cari rumus gradien garis singgung kurva yang pada artikel berikutnya akan kita sebut dengan turunan.

Perhatikan Gambar 2
Pada gambar 2 diatas jika garis sekan diputar searah jarum jam dengan poros di \(P\) maka garis tersebut akan memotong kurva pada titik \(P\) saja.

Saat garis sekan tersebut diputar maka nilai \(h\) akan semakin mengecil, sehingga saat \(h\) mendekati angka \(0\) (nol) garis sekan tersebut berhimpit dengan garis tangen.

Dikarenakan berhimpit, maka pada saat \(h\) mendekati nol gradien garis sekan sama dengan gradien garis tangen. Sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk \(h\) mendekati no, rumus gradien garis tangen sama dengan rumus gradien garis sekan.

Jadi rumus gradien garis tangen atau rumus gradien garis singgung kurva adalah sebagai berikut:

Nilai kemiringan garis singgung kurva atau gradien garis singgung kurva sudah kita dapatkan rumusnya. Nah yang namanya garis pasti dia mempunyai persamaan, pertanyaan selanjutnya seperti apa sih rumusan umum persamaan garis singgung kurva?

Sebenarnya sama saja seperti mencari persamaan garis biasa, yang membedakan adalah penggunaan gradiennya aja.

Dikarenakan yang kita cari adalah persamaan garis singgung kurva, maka gradien yang digunakanpun harus gradien garis singgung.

Adapun rumus persamaan garisnya adalah sebagai berikut:

Agar kamu lebih paham lagi, inilah contoh soal gradien garis singgung turunan fungsi aljabar.

Soal 1
Diketahu kurva \(y = x^{2}\), tentukanlah persamaan garis singgung kurva pada saat absisnya \(2\) dan \(-3\)!

Jawab
Langkah berpikirnya seperti ini!
Kita analisis dulu apa yang diinginkan soal, dimintanya adalah persamaan garis sisnggung.

Dalam membuat persamaan garis singgung, kita membutuhkan gradien garis singgung dan sebuah titik koordinat yang dilewati oleh garis singgung tersebut.

Nah berarti langkah kita selanjutnya mencari gradien garis singgung atau \(m_{tan}\) dan koordinat yang dilewati garis singgung.

Diketahui \(y = x^{2}\) atau \(f(x) = x^{2}\)

Kita cari dulu \(f(x+h)\)

\(f(x) = x^{2}\)

\(f(x+h) = (x+h)^{2}\)

\(f(x+h) = x^{2} + 2xh + h^{2}\)

\(m_{tan} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}\)

\(m_{tan} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\left( x^{2} + 2xh + h^{2} \right) – (x^{2})}{h}\)

\(m_{tan} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + 2xh + h^{2} – x^{2}}{h}\)

\(m_{tan} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^{2}}{h}\)

\(m_{tan} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h (2x + h)}{h}\)

\(m_{tan} = \displaystyle \lim_{h \to 0} (2x + h)\)

\(m_{tan} = 2x + 0\)

\(m_{tan} = 2x\)

Dikarenakan ada dua titik singgung yaitu pada saat absisnya \(2\) dan \(-3\), maka gradien dan persamaan garis singgungnya ada dua juga.

Untuk \(x = 2\)

\(m_{1} = 2x\)

\(m_{1} = 2(2)\)

\(m_{1} = 4\)

Untuk \(x = -3\)

\(m_{2} = 2x\)

\(m_{2} = 2(-3)\)

\(m_{2} = -6\)

Ingat!!!
Kita membutuhkan koordinat untuk membuat persamaan garis singgung. Kira-kira dimana kita bisa mendapatkan titik koordinat yang dilalui garis singgung?

Yap betul, pada saat \(x=2\) dan \(x=-3\). Karena pada titik tersebut, garis-garis bersinggungan dengan kurva. Artinya titik tersebut pasti dilalui oleh garis-garis dan kurva.

Untuk \(x_{1} = 2\)

\(y = x^{2}\)

\(y_{1} = (x_{1})^{2}\)

\(y_{1} = (2)^{2}\)

\(y_{1} = 4\)

Untuk \(x_{2} = -3\)

\(y = x^{2}\)

\(y_{2} = (x_{2})^{2}\)

\(y_{2} = (-3)^{2}\)

\(y_{2} = 9\)

Persamaan Garis Singgung 1

\(m_{1} = 4\), \(x_{1} = 2\), dan \(y_{1} = 4\)

\(y – y_{1} = m_{1} (x – x_{1})\)

\(y – 4 = 4 (x – 2)\)

\(y – 4 = 4x – 8\)

\(y = 4x – 8 + 4\)

\(y = 4x – 4\) atau

\(4x – y – 4 = 0\)

Persamaan Garis Singgung 2

\(m_{2} = -6\), \(x_{2} = -3\), dan \(y_{2} = 9\)

\(y – y_{2} = m_{2} (x – x_{2})\)

\(y – 9 = -6 (x – (-3))\)

\(y – 9 = -6 (x + 3)\)

\(y – 9 = -6x – 18\)

\(y = -6x – 18 + 9\)

\(y = -6x – 9\) atau

\(6x + y + 9 = 0\)

Gimama, sudah paham?

Biar makin lancar, kita akan bahas satu soal lagi tentang gradien dan persamaan garis singgung.

Soal 2
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva \(y = -x^{2} + 2x + 2\) pada saat \(x\) nya \(-1\).

Jawab
Pola berpikirnya sama seperti soal nomor satu, jadi kita langsung saja jawab.

\(y = -x^{2} + 2x + 2\) atau

\(f(x) = -x^{2} + 2x + 2\)

Kita cari dulu \(f(x+h)\)

\(f(x) = -x^{2} + 2x + 2\)

\(f(x+h) = -(x+h)^{2} + 2(x+h) + 2\)

\(f(x+h) = -(x^{2} + 2xh +h^{2}) + 2x+2h + 2\)

\(f(x+h) = -x^{2} – 2xh – h^{2} + 2x+2h + 2\)

\(m_{tan} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}\)

\(m_{tan} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(-x^{2} – 2xh – h^{2} + 2x+2h + 2) – (-x^{2} + 2x + 2)}{h}\)

\(m_{tan} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{-x^{2} – 2xh – h^{2} + 2x+2h + 2 + x^{2} – 2x – 2}{h}\)

\(m_{tan} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{- 2xh – h^{2} +2h}{h}\)

\(m_{tan} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h(-2x – h +2)}{h}\)

\(m_{tan} = \displaystyle \lim_{h \to 0} (-2x – h +2)\)

\(m_{tan} = -2x – 0 +2\)

\(m_{tan} = -2x + 2\)

Jadi gradien garis singgung pada saat \(x = -1\) adalah sebagai berikut:

\(m_{tan} = -2x + 2\)

\(m_{tan} = -2(-1) + 2\)

\(m_{tan} = 2 + 2\)

\(m_{tan} = 4\)

Sekarang kita cari koordinat \(y\) pada saat \(x = -1\)

\(y = -x^{2} + 2x + 2\)

\(y = -(-1)^{2} + 2(-1) + 2\)

\(y = -(1) – 2+ 2\)

\(y = -1\)

Jadi koordinat \((x_{1}, y_{1}) = (-1, -1)\)

Langkah terakhir adalah cari persamaan garis singgung kurva.

\(m_{1} = 4\), \(x_{1} = -1\), dan \(y_{1} = -1\)

\(y – y_{1} = m (x – x_{1})\)

\(y – (-1) = 4 (x – (-1))\)

\(y + 1= 4 (x + 1)\)

\(y + 1= 4x + 4\)

\(y = 4x + 4 -1\)

\(y = 4x + 3\) atau

\(4x – y + 3 = 0\)

Nah itulah pembahasan gradien dan persamaan garis singgung pada turunan, dimana materi tersebut merupakan konsep dasar turunan fungsi aljabar. Pada artikel berikutnya kita akan bahas definisi turunan fungsi aljabar.

Jika tulisan ini bermanfaat silahkan share dan berikan bintang 5 yaa!!! Semoga bahan ajar turunan fungsi aljabar ini dapat kamu pahami dengan baik.

0 0 vote
Article Rating
Beri tahu saya!
Notifikasi
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments