Pembahasan lengkap persamaan dan pertidaksamaan rasional.
sumber: freepik.com

Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional

Posted on 38,427 views

Edumatik.Net – Materi persamaan dan pertidaksamaan rasional merupakan lanjutan dari pembahasan materi sebelumnya yaitu persamaan dan pertidaksamaan linier dan kuadrat.

Sistem bilangan real dibagi menjadi dua, yaitu sistem bilangan rasional dan sistem bilangan irasional. Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dinyatakan dengan \(\frac{a}{b}\), dengan \(a\) dan \(b\) adalah bilangan bulat dan \(b \neq 0\).

Sederhananya bilangan rasional itu bilangan yang berbentuk pecahan, dimana \(a\) sebagai pembilang dan \(b\) sebagai penyebut. Jadi apa itu persamaan dan pertidaksamaan rasional? Kita akan membahasnya step by step pada artikel ini.

Apa yang dimaksud persamaan rasional?
Persamaan rasional adalah suatu persamaan yang bentuknya pecahan, ada yang bertidak sebagai pembilang ada juga yang bertindak sebagai penyebut. Adapun bentuk umum persamaan rasional adalah sebagai berikut:

\(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} =0\), dengan \(g(x) \neq 0\)

Cara Menyelesaikan Persamaan Rasional
1). Pindahkan semua variabel kesebelah kiri dan yang bukan variabel kesebelah kanan, atau sebaliknya (tentunya sesuai aturan matematika).
2). Tuliskan HP (himpunan penyelesaian).

Biar kamu lebih paham lagi, aku akan jelasin materi ini dengan beberapa contoh soal persamaan rasional. Tapi aku ingetin lagi, materi ini nyambung dari pembahasan materi sebelumnya.

Jadi kalau kamu ingin bener-bener paham sampai dalam banget, kamu harus pelajari dulu materi dasarnya. Ini dia pembahasan 3 materi sebelumnya.

Contoh Soal Persamaan Rasional
Berikut adalah contoh soal persamaan rasional beserta dengan pembahasannya.

1). Tentukan himpunan penyelesaian dari \(\frac{1}{x-3} = \frac{1}{4}\)

Jawab:

\(\begin{aligned} \displaystyle \frac{1}{x-3} &= \frac{1}{4} \\ 1 \times 4 &= 1 \times (x-3) \\ 4 &= x-3 \\ 4+3 &= x \\ 7 &= x \end{aligned}\)
atau bisa kita tulis \(x=7\)

Nah untuk melihat pekerjaan kita benar atau salah, kita masukan aja \(x=7\) ke soal. Kita cobain ya!

\(\displaystyle \frac{1}{x-3} = \frac{1}{4}\)

\(\displaystyle \frac{1}{7-3} = \frac{1}{4}\)

\(\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\)

Tuh, sama kan?
Sudah paham ya sekarang?
Jadi cara menyelesaiakan persamaan rasional tuh sederhananya dengan cara memindahkan variabel dan konstanta sesuai aturan matematika sampai kita mendapatkan nilai \(x\).

2). Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan rasional \(\frac{3x}{x+1} = \frac{2}{5}\)

Jawab:

\(\begin{aligned} \displaystyle \frac{3x}{x+1} &= \frac{2}{5} \\ 3x . 5 &= 2 . (x+1) \\ 15x &= 2x + 2 \\ 15x-2x &= 2 \\ 13x &= 2 \\ x &= \frac{2}{13} \end{aligned}\)

Kalau kamu gak yakin, coba aja masukin \(x= \frac{2}{13}\) ke soal. Kalau ruas kiri dan kanan sama, berarti pekerjaan kamu sudah benar.

3). Diketahui persamaan rasional \(\frac{x}{x+3} = \frac{x+1}{x-2}\), tentukanlah nilai \(x\) yang memenuhi.

Jawab:

\(\begin{aligned} \displaystyle \frac{x}{x+3} &= \frac{x+1}{x-2} \\ x (x-2) &= (x+1)(x+3) \\ x^{2} -2x &= x^{2} +3x +x +3 \\ x^{2} -2x &= x^{2} +4x +3 \\ x^{2} – x^{2} -2x-4x &= 3 \\ -6x &= 3 \\ x &= \frac{3}{-6} \\ x &= – \frac{1}{2} \end{aligned}\)

Gimana gampang kan?
Itulah pembahasan persamaan rasional beserta contohnya, berikutnya aku akan bahas pertidaksamaan rasional.

Apa itu pertidaksamaan rasional?
Pertidaksamaan rasional adalah suatu pertidaksamaan yang bentuknya pecahan, adapun bentuk umum pertidaksamaan rasional sebagai berikut:

\(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} > 0\)
\(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} < 0\)
\(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0\)
\(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} \leq 0\)
dengan \(g(x) \neq 0\)

Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional
1). Ruas kanan jadikan nol.
2). Apabila bisa disederhanakan, maka sederhanakan dulu.
3). Cari pembuat nol untuk pembilang dan penyebut.
4). Buat garis bilangan dan uji tanda positif/negatif pada interval.
5). Tuliskan HP (Himpunan Penyelesaian)

Sepertinya akan lebih mudah dipahami jika dijelaskan dengan contoh soal pertidaksamaan rasional.

Soal Pertidaksamaan Rasional
Berikut adalah contoh soal pertidaksamaan rasional beserta pembahasannya.

1). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional \(\frac{x+5}{x-2} < 0\)

Jawab:

\(\displaystyle \frac{x+5}{x-2} < 0\)

\(x+5=0 \to x=-5\)

\(x-2=0 \to x=2\)

Uji titik \(x=0\)

\(\displaystyle \frac{x+5}{x-2} = \frac{0+5}{0-2} = – \frac{5}{2}\)

Hasilnya “negatif”, artinya daerah atau interval yang memuat titik “\(0\)” adalah daerah yang negatif, daerah lainnya positif secara berselang seling.

Tanda pertidaksamaan pada bentuk terakhir adalah “lebih kecil”, artinya pilih yang interval negatif. Kemudian tuliskan himpunan penyelesaiannya.

\(HP = \{ x | -5 < x < 2, x \in R \}\)

2). Diketahui pertidaksamaan rasional \(\frac{4}{x-3} \geq \frac{3}{2x-1}\), tentukanlah himpunan penyelesaiannya!

Jawab:

\(\displaystyle \begin{aligned} \frac{4}{x-3} &\geq \frac{3}{2x-1} \\ \frac{4}{x-3} – \frac{3}{2x-1} &\geq 0 \\ \frac{4(2x-1) – 3(x-3)}{(x-3)(2x-1)} &\geq 0 \\ \frac{8x-4- 3x+9}{(x-3)(2x-1)} &\geq 0 \\ \frac{5x+5}{(x-3)(2x-1)} &\geq 0 \end{aligned}\)

Cari pembuat nol untuk pembilang dan penyebut.
\(5x+5=0 \to x = -1\)
\(x-3=0 \to x = 3\)
\(2x-1=0 \to x = \frac{1}{2}\)

Uji titik \(x=0\)
\(\begin{aligned} \frac{5x+5}{(x-3)(2x-1)} &= \frac{5(0)+5}{(0-3)(2(0)-1)} \\ &= \frac{5}{3} \end{aligned}\)

Hasilnya “positif”, artinya interval yang memuat titik \(0\) adalah interval positif. Sedangkan yang lainnya positif dan negatif secara berselang seling.

Ingat syarat dari rasional adalah penyebut tidak boleh nol, hati-hati ketika ada soal pertidaksamaan dengan tanda “\(\geq\)” dan “\(\leq\)”, kita harus memperhitungkan penyebutnya.

Nilai-nilai \(x\) yang membuat penyebutnya menjadi nol harus di kecualikan, dia hanya berguna sebagai batas saja, yang berarti tidak masuk kedalam himpunan penyelesaian.

Nilai \(x\) yang membuat penyebutnya menjadi nol bisa dilihat dari pembuat nol, yaitu \(x=3\) dan \(x = \frac{1}{2}\), maka pada garis bilangan disimbolkan bulat kosong.

Tanda pertidaksamaan pada bentuk terakhir adalah “\(\geq\)” artinya pilih yang positif.

\(HP = \{ x | -1 \leq x < \frac{1}{2} \vee x >3, x \in R \}\)

3). Tentunkan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional \(\frac{x+3}{x^{2} -4} > 0\)

Jawab:

\(\displaystyle \begin{aligned} \frac{x+3}{x^{2} -4} &> 0 \\ \frac{x+3}{(x-2)(x+2)} &> 0 \end{aligned}\)

\(x+3=0 \to x =-3\)
\(x-2=0 \to x =2\)
\(x+2=0 \to x =-2\)

Uji titik \(x=0\)
\(\displaystyle \frac{x+3}{(x-2)(x+2)} = – \frac{3}{4}\)

Hasil ujinya “negatif” dan dimintanya “lebih besar”, artinya pilih yang positif.

\(HP = \{ x | -3 < x < -2 \vee x >2, x \in R \}\)

4). Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan \(\frac{x^{2}-2x+1}{x-6} \leq 0\)

Jawab

\(\displaystyle \frac{x^{2}-2x+1}{x-6} \leq 0\)

\(\displaystyle \frac{(x-1)(x-1)}{x-6} \color{red}{\leq 0}\)

\(x-1=0 \to x=1\) (akar kembar)
\(x-6=0 \to x=6\)

Kalau ada akar kembar maka buatlah interval air mancur.

Uji titik \(x=0\) hasilnya “negatif”
Tanda pertidaksamaan “\(\leq\)”, artinya pilih negatif.
\(x=6\) hanya batas saja (bukan penyelesaian)

Kenapa \(x=1\) kita pilih sebagai HP juga, padahalkan positif? Karena pada saat \(x=1\) hasilnya adalah nol, dan disoalpun diperbolehkan yaitu lebih kecil sama dengan nol (yang berwarna merah).

\(HP = \{ x |x < 6, x \in R \}\)

Soal Latihan Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional

Berikut ini adalah soal latihan persamaan rasional dan pertidaksamaan rasional yang bisa kamu coba untuk mengukur pemahaman kamu terhadap materi yang barusan aku jelasin.

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan dan pertidaksamaan rasional berikut!

1). \(\displaystyle \frac{2}{3x} = \frac{4}{3}\)

2). \(\displaystyle \frac{2x}{x-4} = \frac{2}{3}\)

3). \(\displaystyle \frac{(2x-4)}{2} – \frac{(3x+6)}{5} =0\)

4). \(\displaystyle \frac{x+7}{x-3} > 0\)

5). \(\displaystyle \frac{x-2}{x+5} \geq 1\)

6). \(\displaystyle \frac{2x+2}{x-3} \leq 1\)

7). \(\frac{x-1}{x+2} \leq \frac{x+1}{x-2}\)

Itulah pembahasan persamaan dan pertidaksamaan rasional, semoga paham dengan apa yang aku sampaikan. Cek juga soal persamaan dan pertidaksamaan rasional lainnya. Berikutnya aku akan bahas persamaan dan pertidaksamaan irasional, sebelum lanjut bagikan dulu tulisan ini biar orang lain mendapatkan manfaatnya.

One thought on “Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *