Konsep nilai mutlak dan contoh soal
sumber: freepik.com

Persamaan Nilai Mutlak – Konsep Dasar Sampai Contoh Soal

Posted on 32,496 views

Edumatik.Net – Persamaan nilai mutlak atau dalam hal ini persamaan nilai mutlak linier satu variabel akan lebih mudah dipahami kalau kita tau dulu yang namanya konsep dasar nilai mutlak itu sendiri.

Tapi jangan khawatir, karena sekarang aku akan jelasin persamaan nilai mutlak secara lengkap mulai dari pengertian nilai mutlak sampai dengan contoh soal persamaan nilai mutlak dan pembahasannya.

Apa pengertian nilai mutlak?
Konsep nilai mutlak secara geometri adalah jarak suatu bilangan tertentu terhadap titik nol. Bilangan tertentu tersebut disimbolkan dengan \(x\), sedangkan tanda mutlak disimbolkan dengan dua garis tegak yaitu \(||\).

Perlu diingat bahwa yang namanya jarak tidak ada yang negatif, jadi jarak itu selalu positif. Tentunya jarak juga tidak terpengaruh oleh arah, mau arahnya ke kiri atau ke kanan dia tetap positif.

Misalnya, jarak rumah aku dengan si dia \(-5\) km, kan gak gitu ya?
Paham?

Sekali lagi, nilai mutlak adalah jarak suatu bilangan terhadap titik nol. Perhatikan ilustrasi dibawah ini.

\(|3| = 3\), artinya jarak \(3\) ke titik \(0\) adalah \(3\)

\(|-3| = 3\), artinya jarak \(-3\) ke titik \(0\) adalah \(3\)

\(|-4| = 4\), artinya jarak \(-4\) ke titik \(0\) adalah \(4\)

\(|-5| = 5\), artinya jarak \(-5\) ke titik \(0\) adalah \(5\)

Sederhananya, mutlak itu adalah alat untuk mempositifkan bilangan. Sekarang perhatikan kalau kasusnya seperti ini.

Masalah 1: Nilai Mutlak
\(|x| = 4\), berapa nilai \(x\)?

Nah lho, gimana tuh artinya?
Yap betul, artinya jarak \(x\) ke titik \(0\) adalah \(4\)

Jadi \(x\) berapa aja?
\(x=-4\) dan \(x=4\)

Masalah 2: Pengembangan Konsep Nilai Mutlak
\(|x-3| =4\), berapakah nilai \(x\)?

Kita akan menjawabnya masih dengan intuisi dulu, gak pake rumus. Pake rumus nanti aja kalau konsep dasar nilai mutlaknya udah paham. Oke, perhatikan ini!

\(\color{red}{|8-0|} = |8| = 8\), artinya jarak dari \(8\) ke titik \(0\) adalah \(8\).

\(\color{red}{|10-4|} = |6| = 6\), artinya jarak dari \(10\) ke titik \(4\) adalah \(6\).

Nah kalau gitu ini artinya apa?
\(|x-3| =4\)

Yap benar, artinya jarak \(x\) ke titik \(3\) adalah \(4\). Berarti kalau kita gambarkan menjadi seperti ini.

Jadi nilai \(x\) berapa aja?
\(x=-1\) dan \(x=7\)

Masalah 3: Pengembangan Konsep Nilai Mutlak
\(|x+5|=3\), berapa nilai \(x\)?

Ini bentuknya penjumlahan sedangkan bentuk dasarnya adalah pengurangan, jadi kita ubah dulu nih kedalam bentuk pengurangan.

\(|x+5|=3 \to |x-(-5)|=3\)
Artinya jarak \(x\) ke titik \(-5\) adalah \(3\). Berarti kalau kita gambarkan menjadi seperti ini.

Jadi nilai \(x\) berapa aja?
\(x=-2\) dan \(x=-8\)

Dari beberapa kegiatan di atas, kita mengetahui bahwa nilai dari \(x\) kemungkinannya bisa positif atau negatif, atau bisa juga netral (nol).

Sekarang akan kita definikan secara lebih formal. Berikut adalah definisi nilai mutlak secara lebih formal.

\(|x| = \begin{cases} x &; x \geq 0 \\ -x &; x < 0 \end{cases}\)

Contoh:

\(|5| = ?\)
Kita gunakan definisi nilai mutlak untuk menjawabnya. \(5\) adalah positif, berarti kita gunakan \(x \geq 0\) yaitu sama dengan \(x\) dimana \(x=5\).
Jadi \(|5| = 5\)

\(|-5| = ?\)
\(-5\) adalah negatif, berarti kita gunakan \(x < 0\) yaitu sama dengan \(-x\) dimana \(x=-5\).
Jadi \(|-5| = -(-5)= 5\)

\(|x+4| -2|-4|=3\)
Berapa nilai \(x\)?

Ayo, gimana tuh?
Kalau bentuknya gak mirip dengan definisi, kita sederhanakan dulu sampai mirip bentuknya dengan definisi nilai mutlak.

\(\begin{aligned} |x+4| -2|-4| &=3 \\ |x+4| -2(4) &=3 \\ |x+4| -8 &=3 \\ |x+4| &=3+8 \\ |x+4| &=11 \end{aligned}\)

Udah mirip kan bentuknya?
\(|X| = 11\) dengan \(X=x+4\), paham?

Untuk \(X\)
\(\begin{aligned} X &= 11 \\ x+4 &= 11 \\ x &=11-4 \\ x &= 7 \end{aligned}\)

Untuk \(-X\)
\(\begin{aligned} -X &= 11 \\ -(x+4) &= 11 \\ -x -4 &=11 \\ -x &= 11+ 4 \\ -x &= 15 \\ x &= -15 \end{aligned}\)

Kita coba pakai garis bilangan lagi, dari bentuk persamaan nilai mutlak yang terakhir yaitu \(|x+4|=11\).

\(|x+4|=11 \to |x-(-4)|=11\)
Artinya jarak \(x\) ke titik \(-4\) adalah \(11\).

Sama kan jawabannya?
Jadi kesimpulannya \(x=-15\) dan \(x=7\)

Sifat-Sifat Persamaan Nilai Mutlak

1). \(|x| = \sqrt{x^{2}}\)

2). \(|x|^{2} = x^{2}\)

3). \(|x^{2}| = |x|^{2} = x^{2}\)

4). \(|x-y|=|y-x|\)

5). \(|x.y| = |x| . |y|\)

6). \(\displaystyle \left \vert \frac{x}{y} \right \vert = \frac{|x|}{|y|}\) dengan \(y \neq 0\)

Cara Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

Ada beberapa cara untuk menyelesaiakan persamaan nilai mutlak, tapi disini aku akan bahas dua saja yaitu dengan cara definisi dan dengan cara sifat (dikuadratkan).

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak \(|3x+2| = 5\)!

1). Cara Definisi

\(\displaystyle \begin{aligned} 3x+2 &= 5 \\ 3x &= 5-2 \\ 3x &= 3 \\ x &= \frac{3}{3} \\ x &= 1 \end{aligned}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} -(3x+2) &= 5 \\ -3x -2 &= 5 \\ -3x &= 5+2 \\ -3x &= 7 \\ x &= \frac{7}{-3} \\ x &= -\frac{7}{3} \end{aligned}\)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(x=1\) dan \(x= – \frac{7}{3}\)

Selanjutnya aku akan kasih tau rumus yang biasa orang lain gunakan, mungkin bisa dibilang rumus cepat. Tapi sebelum itu, perhatikan dulu penjelasan dibawah ini.

Dari proses jawaban diatas, perbedaan awalnya seperti ini kan?

\(3x+2=5\) dan
\(-(3x+2)=5\)

Tanda negatifnya kalau kita pindahkan menjadi seperti ini kan? \(3x+2 =-5\)

Nah jadi dapat kita simpulkan bahwa, kalau ada bentuk \(\color{red}{|ax+b| = c}\) maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
\(\color{red}{ax+b =c}\) dan
\(\color{red}{ax+b =-c}\)

Itulah rumus cepat persamaan nilai mutlak yang biasa orang lain gunakan. Karena kamu sekarang udah tau konsep dasarnya, jadi kamu juga boleh menggunakan rumus itu sekarang.

2). Cara Sifat (dikuadratkan)
Cara ini diambil dari sifat nomor dua, yaitu ketika tanda mutlak dikuadratkan maka tanda mutlaknya hilang, pertanyaannya kenapa bisa hilang?

Kita akan jawab dulu ini baru nanti kita kembali lagi ke soal. Masih ingat syarat dari sebuah akar?

Yap betul, dibawah tanda akar haruslah lebih besar atau sama dengan nol. Ini udah aku bahas di persamaan dan pertidaksamaan irasional, kalau kamu belum baca sebaiknya baca dulu.

Sekarang perhatikan ini!
\(\sqrt{x^{2}}\)

Ingat, dibawah akar harus lebih besar sama dengan nol atau bahasa lainnya tidak boleh negatif. Pertanyaan sekarang, pada bentuk diatas boleh gak kalau \(x\) negatif?

Jawabannya boleh, kenapa?
Karena \(x\) dikuadratkan, bilangan negatif ketika dikuadratkan pasti hasilnya positif, sehingga memenuhi persyaratan dari bentuk akar.

Jadi \(\sqrt{x^{2}} = x\) apabila \(x \geq 0\), dan \(\sqrt{x^{2}} = -x\) apabila \(x<0\). Penulisan secara matematikanya sebagai berikut.

\(\sqrt{x^{2}} = \begin{cases} x &; x \geq 0 \\ -x &; x<0 \end{cases}\).

Bentuk diatas sama seperti bentuk definisi nilai mutlak, dikarenakan sama persis bentuknya maka kita bisa katakan bahwa \(|x| = \sqrt{x^{2}}\) (sifat nomor 1)

Pada tulisan persamaan irasional aku udah bahas bahwa ketika ada akar di kuadratkan maka tanda akarnya hilang, dari persamaan barusan kita lakukan hal yang sama.

\(|x| = \sqrt{x^{2}}\) (kuadratkan kedua ruas)

\(|x|^{2} = (\sqrt{x^{2}})^{2}\)

\(|x|^{2} = x^{2}\) (sifat nomor 2)

Taraaa, terbuktikan?
Itulah alasan kenapa tanda mutlak hilang ketika di kuadratkan.

Sekarang kembali ke soal diatas, tujuan kita adalah mencari nilai \(x\). Dikarenakan \(x\) ada didalam tanda mutlak, maka \(x\) harus dikeluarkan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.

Ingat rumus ini
\(a^{2} – b^{2} = (a-b)(a+b)\)

\(\begin{aligned} |3x+2| &= 5 \\ |3x+2|^{2} &= 5^{2} \\ (3x+2)^{2} &= 5^{2} \\ (3x+2)^{2} – 5^{2} &= 0 \end{aligned}\)

Bentuknya mirip dengan rumus diatas kan? Oke kita gunakan rumus itu.

\(((3x+2)-5)((3x+2)+5) =0\)

\((3x+2-5)(3x+2+5) =0\)

\((3x-3)(3x+7) =0\)

Selanjutnya cari pembuat nol, sudah dibahas di persamaan kuadrat. Kalau belum paham silahkan dibaca lagi disitu.

\(3x-3 =0 \to x=1\)
\(\displaystyle 3x+7=0 \to x= – \frac{7}{3}\)

Sama kan hasilnya?
Lebih mudah mana menurut kamu?
Kamu bebas mau pakai cara yang mana, suka-suka kamu aja yaa, kecuali kalau dari gurunya sudah ditetapkan. Hehe

Contoh Soal Persamaan Nilai Mutlak

Materi persamaan nilai mutlak linier satu variabel rasanya belum lengkap kalau tidak ada pembahasan contoh soal. Oleh karenanya, inilah dia contoh soal persamaan nilai mutlak dan pembahasannya.

1). Tentukan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak \(|2x-8|=4\)!

Jawab:

Ingat
\(|ax+b|=c\)
\(ax+b=c\) dan \(ax+b=-c\)

\(\displaystyle \begin{aligned} 2x-8 &=4 \\ 2x &= 4+8 \\ 2x &= 12 \\ x &= \frac{12}{2} \\ x &= 6 \end{aligned}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} 2x-8 &=-4 \\ 2x &= -4+8 \\ 2x &= 4 \\ x &= \frac{4}{2} \\ x &= 2 \end{aligned}\)

\(HP = \{2, 6 \}\)

2). Diketahui \(\displaystyle \left \vert \frac{2x-1}{4x+3} \right \vert = 1\), berapakah nilai-nilai \(x\) yang memenuhi?

Jawab:

Sekali lagi aku ingetin, kalau bentuknya agak rumit maka kamu harus ubah dulu menjadi yang lebih sederhana. Bisa diubah menjadi bentuk yang bisa diselesaikan dengan cara definisi atau dengan cara sifat.

\(\displaystyle \begin{aligned} \left \vert \frac{2x-1}{4x+3} \right \vert &= 1 \\ \frac{|2x-1|}{|4x+3|} &= 1 \\ |2x-1| &= 1. |4x+3| \\ |2x-1| &= |4x+3| \\ |2x-1|^{2} &= |4x+3|^{2} \\ (2x-1)^{2} &= (4x+3)^{2} \\ (2x-1)^{2} – (4x+3)^{2} &= 0 \end{aligned}\)

\(((2x-1)-(4x+3))((2x-1)+(4x+3)) = 0\)

\((2x-1-4x-3)(2x-1+4x+3) = 0\)

\((-2x-4)(6x+2) = 0\)

\(-2x-4 =0 \to x=-2\)
\(6x+2 =0 \to x= – \frac{1}{3}\)

\(HP= \{-2, – \frac{1}{3} \}\)

3). Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak \(\displaystyle \left \vert \frac{x+2}{x-2} \right \vert = 5\)!

Jawab:

\(\displaystyle \begin{aligned} \left \vert \frac{x+2}{x-2} \right \vert &= 5 \\ \frac{|x+2|}{|x-2|} &= 5 \\ |x+2| &= 5 |x-2| \\ |x+2| &= |5| |x-2| \\ |x+2| &= |5(x-2)| \\ |x+2|&= |5x-10| \end{aligned}\)

Sekarang kita coba selesaikan dengan cara definisi.

\(\begin{aligned} x+2 &= 5x-10 \\ x-5x &= -10 -2 \\ -4x &= -12 \\ x &= 3 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} x+2 &=- (5x-10) \\ x+2 &= -5x +10 \\ x+5x &= 10 -2 \\ 6x &= 8 \\ x &= \frac{4}{3} \end{aligned}\)

\(\displaystyle HP = \{ \frac{4}{3}, 3 \}\)

Kita akan coba menggunakan soal cerita, biar bervariasi. Inilah contoh soal cerita persamaan nilai mutlak linier satu variabel, simak baik-baik yaa!

4). Rata-rata suhu normal manusia adalah \(36^{\circ}\) C. Jika kesalahan pengukuran suhu tersebut adalah \(0,5^{\circ}\) C, berapakah suhu minimum dan maksimum yang terukur?

Jawab:

\(|x-36| = 0,5\)

\(\begin{aligned} x-36 &= 0,5 \\ x &= 0,5 + 36 \\ x &= 36,5 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} x-36 &= -0,5 \\ x &= -0,5 + 36 \\ x &= 35,5 \end{aligned}\)

Jadi suhu maksimum yang terukur adalah \(36,5^{\circ}\) C, dan suhu minimunya adalah \(35,5^{\circ}\) C.

Itulah pembahasan lengkap materi persamaan nilai mutlak, pengertian, sifat, dan contoh soal. Berikutnya kita akan belajar pertidaksamaan nilai mutlak, bagikan tulisan ini biar bermanfaat untuk orang lain.

One thought on “Persamaan Nilai Mutlak – Konsep Dasar Sampai Contoh Soal

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *