Rumus Barisan Geometri dan Pembuktiannya

Posted on
5/5 (1)

Edumatik.Net – Rumus barisan geometri adalah suatu rumus untuk mencari nilai suatu suku dari barisan geometri. Sebelumnya juga udah dijelasin mengenai barisan aritmatika, udah baca belum? Kalau belum baca sebaiknya Kamu baca dulu, biar nyambung Kita belajarnya.

Kalau udah baca, sekarang Kita akan menacari tau perbedaan barisan artimatika dan barisan geometri.

Barisan geometri adalah suatu barisan dengan rasio (perbandingan) antara dua suku yang berurutan selalu konstan (tetap). Rasio tersebut disimbolkan dengan huruf \(r\). Adapun bentuk umumnya sebagai berikut:

\(U_1, U_2, U_3, . . . , U_n\)
atau
\(a, ar, ar^{2}, . . . , ar^{n-1}\)

Jadi rumus barisan geometri mencari suku pertama atau bisa Kita sebut rumus suku ke-n barisan geometri adalah sebagai berikut:

Keterangan:
\(a =\) suku petama
\(r =\) rasio
\(n =\) banyak suku
\(U_n =\) nilai suku ke n

Nah dari uraian diatas, maka berlaku persamaan berikut.

\(r = \frac{ar}{a} = \frac{ar^{2}}{ar} = . . .\)

atau

\(r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2}=…= \frac{U_n}{U_{n-1}}\)

Jadi rumus rasio barisan geometri adalah sebagai berikut:

Keterangan:
\(r =\) rasio
\(U_n =\) nilai suku ke n
\(U_{n-1} =\) nilai suku ke (n-1)

Gimana udah paham belum cara mencari suku pertama barisan geometri?

Oke untuk memahami lebih lanjut, perhatikan barisan geometri \(2, 6, 18, 54, . . .\)

Diatas adalah contoh barisan geometri dengan \(r = 3\), pola barisan geometri yang terbentuk bisa Kamu lihat dibawah ini.

Gimana, paham kan maksudnya?
Nah berikut ini adalah contoh soal mencari suku pertama barisan geometri. Simak baik-baik yaa!

1). Diketahui barisan geometri \(4, 8, 16, 32, . . .\)
Berapakah nilai suku ke 10 dari barisan tersebut?

Jawab:

Diketahui \(a=4, r=2\) dan \(n=10\)

\(U_{n} = ar^{n-1}\)

\(U_{10} = 4 . 2^{10-1}\)

\(U_{10} = 4 . 2^{9}\)

\(U_{10} = 4 . 512\)

\(U_{10} = 2048\)

2). Dari barisan berikut, manakah yang merupakan barisan geometri?

a) \(-2, -6, -18, -54, . . .\)
b) \(4, -16, 64, -256, . . .\)
c) \(1, 5, 10, 15, 120, . . .\)

Jawab:

a) Merupakan barisan geometri, sebab rasio dua suku berurutan tetap yaitu 3.

b) Merupakan barisan geometri, sebab rasio dua suku berurutan tetap yaitu \(-4\).

c) Bukan barisan geometri, sebab rasio dua suku berurutan berbeda.

3). Tentukan suku ke-8 dari barisan geometri \(81, 27, 9, 3, . . .\)

Jawab:

Diketahui \(a=81, n=8\) dan \(r = \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)

\(U_n = ar^{n-1}\)

\(U_8 = 81 . \left( \frac{1}{3} \right)^{8-1}\)

\(U_8 = 81 . \left( \frac{1}{3} \right)^{7}\)

\(U_8 = 81 . \left( \frac{1}{2187} \right)\)

\(U_8 = \left( \frac{1}{27} \right)\)

4). Diketahui suku ke-2 dan suku ke-4 suatu barisan geometri berturut-turut adalah 12 dan 48. Tentukan nilai suku ke-6!

Jawab:

Diketahui \(U_2 = 12, U_4 = 48\)

Ditanyakan \(U_6\)

\(\frac{U_4}{U_2} = \frac{48}{12}\)

\(\frac {ar^{3}}{ar} = 4\)

\(r^{2} = 4\)

\(r = \sqrt{4}\)

\(r = 2\)

\(r = \frac{U_2}{U_1}\)

\(U_1 = \frac{U_2}{r}\)

\(U_1 = \frac{12}{2}\)

\(U_1 =a= 6\)

\(U_n = ar^{n-1}\)

\(U_6 = 6 . 2^{6-1}\)

\(U_6 = 6 . 2^{5}\)

\(U_6 = 6 . 32\)

\(U_6 = 192\)

5). Tentukan banyaknya suku barisan geometri \(3, -6, 12, -24, . . . , 768\) !

Jawab:

Duketahui \(a = 3, r = -2,\) dan \(U_n = 768\)

\(U_n = ar^{n-1}\)

\(768 = 3 . 2^{n-1}\)

\(\frac{768}{3} = 2^{n-1}\)

\(256 = 2^{n-1}\)

\(256 = \frac{2^{n}}{2}\)

\(256 . 2 = 2^{n}\)

\(512 = 2^{n}\)

\(2^{9} = 2^{n}\)

Sehingga \(n=9\)

Jadi banyak suku barisan geometri diatas adalah 9 suku.

6). Suku ke berapakah \(\frac{64}{81}\) dari barisan geometri \(9, -6, 4, . . .\) ?

Jawab:

Diketahui \(a = 9, r = – \frac{2}{3},\) dan \(U_n= \frac{64}{81}\)

\(U_n = ar^{n-1}\)

\(\frac{64}{81} = 9 \left( – \frac{2}{3} \right)^{n-1}\)

\(\frac{64}{81 . 9} = \left( – \frac{2}{3} \right)^{n-1}\)

\(\frac{64}{729} = \frac{ \left( – \frac{2}{3} \right)^{n}}{\left( – \frac{2}{3} \right)^{1}}\)

\(\left( \frac{64}{729} \right) . \left( – \frac{2}{3} \right) = \left( – \frac{2}{3} \right)^{n}\)

\(– \frac{128}{2187} = \left( – \frac{2}{3} \right)^{n}\)

\(\left( – \frac{2}{3} \right)^{7}= \left( – \frac{2}{3} \right)^{n}\)

Sehingga \(n = 7\), jadi \(\frac{64}{81}\) terletak pada suku ke 7.

7). Jika suku-suku \(c, (2c-10), (4c+10)\) merupakan tiga suku pertama barisan geometri, barapakah nilai suku ke 5?

Jawab:

\(r = r\)

\(\frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2}\)

\((U_2)^{2} = U_1 . U_3\)

\((2c-10)^{2} = c . (4c+10)\)

\(4c^{2} – 40c + 100 = 4c^{2} + 10c\)

\(4c^{2} – 4c^{2} – 40c -10c = -100\)

\(-50c = -100\)

\(c = 2\)

Jika di substitusikan maka barisan geometrinya adalah \(2, -6, 18\)

Dari sini Kita mendapatkan \(a=2, r=-3\), sehingga

\(U_n = ar^{n-1}\)

\(U_5 = 2(-3)^{5-1}\)

\(U_5 = 2(-3)^{4}\)

\(U_5 = 2 . 81\)

\(U_5 = 162\)

Itulah pembahasan lengkap mengenai rumus barisan geometri dan contoh soal. Jika tulisan ini bermanfaat silahkan berikan penilaian dan share sebanyak-banyaknya agar orang lain mendapatkan kebaikan dari tulisan ini.

Beri nilai tulisan ini!

Tinggalkan Komentar

Please Login to comment
avatar
  Beri tahu saya!  
Notifikasi