Rumus Deret Geometri dan Contoh Soal

Posted on


Edumatik.Net – Apa yang dimaksud dengan deret geometri?
Deret geometri adalah penjumlahan dari barisan geometri. Jika belum tau barisan geometri sebaiknya Kamu baca dulu materinya, biar nyambung dengan apa yang akan Kita pelajari.

Pada tulisan kali ini Kita akan belajar pembuktian rumus deret geometri, selain itu akan diberikan juga contoh soal deret geometri dan penyelesaiannya. Asik bukan? Pastinya makin pinter deh kalau Kamu belajar di Edumatik. Hehe

Kamu masih ingatkan dengan bentuk umum barisan geometri? Bentuk rumusannya seperti berikut ini.

\(a, ar, ar^{2}, . . . , ar^{n-2}, ar^{n-1}\)

Sederhananya deret geometri tuh tinggal Kita jumlahkan aja semua suku-suku pada barisan geometri, simbol deret geometri adalah \(S_n\). Jadi sederhananya bentuk deret geometri seperti berikut.

\(S_n = a + ar + ar^{2} + . . . + ar^{n-2} + ar^{n-1}\)

Jika sukunya banyak, pastinya repot dong kalau harus di jumlahkan satu-persatu. Nah sekarang akan Kita cari tau seperti apa sih pembuktian rumus deret geometri.

Jika \(S_n\) dikalikan dengan \(r\) maka akan menjadi seperti dibawah ini.

\(rS_n = ar + ar^{2} + ar^{3} + . . . + ar^{n-1} + ar^{n}\)

Jika keduanya di kurangkan maka akan menjadi seperti berikut.

Jadi dapat disimpulkan bahwa rumus deret geometri adalah sebagai barikut:

Keterangan:
\(S_n =\) deret geometri
\(a =\) suku awal
\(r =\) rasio
\(n =\) banyak suku

Nah berikut ini adalah contoh soal deret geometri dan pembahasannya, simak baik-baik yaa.

Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan geometri \(1, 3, 9, . . .\)!

Jawab:

Diketahui \(a=1, n=5,\) dan \(r = \frac{9}{3} = 3\)

\(S_n = \frac{a \left( 1-r^{n} \right)}{1-r}\)

\(S_n = \frac{1 \left( 1-3^{5} \right)}{1-3}\)

\(S_n = \frac{\left( 1-243 \right)}{-2}\)

\(S_n = \frac{\left( -242 \right)}{-2}\)

\(S_n = 121\)

Gimana, paham kan?
Soal deret geometri dan pembahasan yang lainnya bisa kamu lihat dibawah ini.

Sisipkanlah empat bilangan diantara 3 dan 729 hingga membentuk sebuah barisan geometri, kemudian hitunglah jumlah dari semua suku barisan baru tersebut.

Jawab:

Mula-mula harus Kita cari tau dulu barisan geometri setelah disisipkan 4 bilangan, lebih lengkap mengenai bagaimana cara mencarinya bisa dilihat ditulisan sebelumnya yaitu sisipan barisan geometri.

Sisipannya \(k=4\), banyak suku awal \(n=2\), rasio barisan awal \(r = \frac{729}{3} = 243\)

Sekarang cari rasio setelah disisipkan

\(r’ = \sqrt[k+1]{r}\)

\(r’ = \sqrt[4+1]{243}\)

\(r’ = \sqrt[5]{243}\)

\(r’ = \sqrt[5]{3^{5}}\)

\(r’ = 3^{\frac{5}{5}}\)

\(r’ = 3\)

Selanjutnya cari banyak suku setelah di sisipkan

\(n’ = (n-1)k + n\)

\(n’ = (2-1)4 + 2\)

\(n’ = 4 + 2\)

\(n’ = 6\)

Langkah akhir adalah mencari \(S_n\)

\(S_n = \frac{ a \left( 1-r^{n} \right)}{1-r}\)

\(S_6 = \frac{ 3 \left( 1-3^{6} \right)}{1-3}\)

\(S_6 = \frac{ 3 \left( 1-729 \right)}{-2}\)

\(S_6 = \frac{ 3 \left( -728 \right)}{-2}\)

\(S_6 = 1092\)

Berikutnya adalah contoh soal deret geometri dalam kehidupan sehari-hari, soalnya sebagai berikut:

Pengunjung blog Edumatik pada minggu pertama berkisar 300 orang. Setelah dilakukan optimasi, pengunjung pada minggu ketiga berkisar 1200 orang, begitu pula pada minggu-minggu berikutnya mengalami penambahan pengunjung dengan mengikuti aturan barisan geometri. Berapakah jumlah pengunjung selama 2,5 bulan?

Jawab:

Diketahui \(a = 300\) dan \(n = 2,5 \times 4 = 10\) minggu.

\(\frac{U_3}{U_1} = \frac{1200}{300}\)

\(\frac{ar^{2}}{a} = 4\)

\(r^{2} = 4\)

\(r = \sqrt{4}\)

\(r = 2\)

\(S_{10} = \frac{a \left( 1-r^{n} \right)}{1-r}\)

\(S_{10} = \frac{300 \left( 1-2^{10} \right)}{1-2}\)

\(S_{10} = \frac{300 \left( 1-1024 \right)}{-1}\)

\(S_{10} = -300 \times (-1023)\)

\(S_{10} = 306900\) pengunjung

Itulah pembahasan lengkap mengenai contoh soal deret geometri beserta pembahasannya, semoga paham dengan apa yang Saya sampaikan. Berikutnya kita akan belajar deret geometri tak hingga, jika tulisan ini bermanfaat silahkan share. See you, bye.

Tinggalkan Komentar

Please Login to comment
avatar
  Beri tahu saya!  
Notifikasi