Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Trigonometri

Posted on
5/5 (3)

Edumatik.Net – Kali ini akan dijelaskan mengenai pembuktian rumus jumlah dan selisih dua sudut trigonometri. Setelah dibuktikan, akan diberikan pula contoh-contoh soal dan pembahasannya. Ada tiga bentuk rumus jumlah dan selisih dua sudut trigonometri yang akan kita bahas yaitu sinus, cosinus, dan tangen. Perhatikan gambar dibawah ini!


Lihat Segitiga \(ACD\)

\(\sin \alpha = \frac {AD}{b}\)\(\cos \alpha = \frac {CD}{b}\)
\(b \sin \alpha = AD\)\(b \cos \alpha = CD\)


Lihat Segitiga \(BCD\)

\(\sin \beta = \frac {BD}{a}\)\(\cos \beta = \frac {CD}{a}\)
\(a \sin \beta = BD\)\(a \cos \beta = CD\)


Kita mendapatkan \(CD = a \cos \beta = b \cos \beta\)
Selanjutnya akan Kita cari luas segitiga diatas.

Luas Segitiga \(ACD\)
\(L = \frac {1}{2} \times alas \times tinggi\)
\(L = \frac {1}{2} \times AD \times CD\)
\(L = \frac {1}{2} \times b \sin \alpha \times a \cos \beta\)
\(L = \frac {1}{2} ab \sin \alpha \cos \beta\)
Luas Segitiga \(BCD\)
\(L = \frac {1}{2} \times alas \times tinggi\)
\(L = \frac {1}{2} \times BD \times CD\)
\(L = \frac {1}{2} \times a \sin \beta \times b \cos \alpha\)
\(L = \frac {1}{2} ab \sin \beta \cos \alpha\)
\(L = \frac {1}{2} ab \cos \alpha \sin \beta\)
Luas Segitiga \(ABC\)
\(L = \frac {1}{2} ab \sin C\)
\(L = \frac {1}{2} ab \sin \left( \alpha + \beta \right)\)
\(L \triangle ABC = L \triangle ACD + L \triangle BCD\)
\(\frac {1}{2} ab \sin \left( \alpha + \beta \right) = \frac {1}{2} ab \sin \alpha \cos \beta + \frac {1}{2} ab \cos \alpha \sin \beta\)
\(\sin \left( \alpha + \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\) . . . (1)
Dari persamaan (1), Kita ganti \(\beta\) dengan \(– \beta\)
\(\sin \left( \alpha + \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)
\(\sin \left( \alpha + (-\beta) \right) = \sin \alpha \cos (-\beta) + \cos \alpha \sin (-\beta)\)
\(\sin \left( \alpha – \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha (-\sin \beta)\)
\(\sin \left( \alpha – \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta\) . . . (2)

Sehingga akhirnya kita mendapatkan rumus jumlah dan selisih dua sudut trigonometri untuk sinus.

Selanjutnya kita akan mencari rumusan untuk cosinus, Kita akan mencarinya dengan menggunakan rumus sudut berelasi. Perhatikan penjelasan dibawah ini!

\(\cos \left( \alpha + \beta \right) = \sin \left( 90^{\circ} – (\alpha + \beta) \right)\)
\(\cos \left( \alpha + \beta \right) = \sin \left( 90^{\circ} – \alpha – \beta \right)\)
\(\cos \left( \alpha + \beta \right) = \sin \left( \left( 90^{\circ} – \alpha \right) – \beta) \right)\)
Selanjutnya Kita pakai rumus persamaan (2)
\(\cos \left( \alpha + \beta \right) = \sin \left( 90^{\circ} – \alpha \right) \cos \beta – \cos \left( 90^{\circ} – \alpha \right) \sin \beta\)
\(\cos \left( \alpha + \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta\) . . . (3)
Dari persamaan (3), Kita ganti \(\beta\) dengan \(– \beta\)
\(\cos \left( \alpha + \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta\)
\(\cos \left( \alpha + (-\beta) \right) = \cos \alpha \cos (-\beta) – \sin \alpha \sin (-\beta)\)
\(\cos \left( \alpha – \beta \right) =\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha (-\sin \beta)\)
\(\cos \left( \alpha – \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\) . . . (4)

Jadi rumus jumlah dan selisih dua sudut trigonometri untuk cosinus adalah sebagai berikut:

Nah yang terakhir Kita akan mencari rumusan untuk tangen, simak baik-baik!

Dipembahasan awal Kita sudah tau bahwa \(\tan \theta = \frac {\sin \theta}{\cos \theta}\), sehingga
\(\tan \left( \alpha + \beta \right) = \frac {\sin \left( \alpha + \beta \right)}{\cos \left( \alpha + \beta \right)}\)
\(\tan \left( \alpha + \beta \right) = \frac {\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta}\)
Sekarang bagi pembilang dan penyebutnya dengan \(\cos \alpha \cos \beta\), sehingga menjadi
\(\tan \left( \alpha + \beta \right) = \frac {\frac {\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta}+\frac {\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac {\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta}-\frac {\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}\)
\(\tan \left( \alpha + \beta \right) = \frac {\tan \alpha . 1 + 1 . \tan \beta}{1 – \tan \alpha \tan \beta}\)
\(\tan \left( \alpha + \beta \right) = \frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1 – \tan \alpha \tan \beta}\) . . . (5)
Dari persamaan (5), Kita ganti \(\beta\) dengan \(– \beta\)
\(\tan \left( \alpha + \beta \right) = \frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1 – \tan \alpha \tan \beta}\)
\(\tan \left( \alpha + (-\beta) \right) = \frac {\tan \alpha + \tan (-\beta)}{1 – \tan \alpha \tan (-\beta)}\)
\(\tan \left( \alpha – \beta \right) = \frac {\tan \alpha + (-\tan \beta)}{1 – \tan \alpha (-\tan \beta)}\)
\(\tan \left( \alpha – \beta \right) = \frac {\tan \alpha – \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}\) . . . (6)

Setelah melalui proses yang cukup panjang akhirnya Kita mendapatkan rumus jumlah dan selisih trigonometri untuk tangen, yaitu:


Contoh Soal
Dengan menggunakan tabel sudut istimewa, berapakah nilai dari:

1). \(\sin 15^{\circ}\)
2). \(\cos 15^{\circ}\)
3). \(\tan 15^{\circ}\)
4). \(\cos 75^{\circ}\)
5). \(\tan 105^{\circ}\)


Jawaban
Nah untuk menjawab soal diatas Kita harus cari dulu nilai sudut istimewa untuk \(\alpha\) dan \(\beta\) yang memenuhi.

Nomor 1
Ada dua kemungkinan nilai sudut istimewa yang memenuhi \(\sin 15^{\circ}\) yaitu \(\sin \left( 45^{\circ} – 30^{\circ} \right)\) dan \(\sin \left( 60^{\circ} – 45^{\circ} \right)\)
Kedua kemungkinan tersebut bisa Kamu gunakan salah satunya saja, karena hasilnya akan sama.

Cara Pertama
\(\sin 15^{\circ} = \sin \left( 45^{\circ} – 30^{\circ} \right)\)
\(\sin 15^{\circ} = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} – \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}\)
\(\sin 15^{\circ} = \left( \frac {1}{2} \sqrt{2} \times \frac {1}{2} \sqrt{3} \right) – \left( \frac {1}{2} \sqrt{2} \times \frac {1}{2} \right)\)
\(\sin 15^{\circ} = \frac{1}{4} \sqrt{6} – \frac{1}{4} \sqrt{2}\)
\(\sin 15^{\circ} = \frac{1}{4} \left( \sqrt{6} – \sqrt{2} \right)\)
Cara Kedua
\(\sin 15^{\circ} = \sin \left( 60^{\circ} – 45^{\circ} \right)\)
\(\sin 15^{\circ} = \sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ} – \cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ}\)
\(\sin 15^{\circ} = \left( \frac{1}{2} \sqrt{3} \times \frac{1}{2} \sqrt{2} \right) – \left( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \sqrt{2} \right)\)
\(\sin 15^{\circ} = \frac{1}{4} \sqrt{6} – \frac{1}{4} \sqrt{2}\)
\(\sin 15^{\circ} = \frac{1}{4} \left( \sqrt{6} – \sqrt{2} \right)\)
Nomor 2
\(\cos 15^{\circ} = \cos \left( 60^{\circ} – 45^{\circ} \right)\)
\(\cos 15^{\circ} = \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ} + \sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ}\)
\(\cos 15^{\circ} = \left( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \sqrt{2} \right) + \left( \frac{1}{2} \sqrt{3} \times \frac{1}{2} \sqrt{2} \right)\)
\(\cos 15^{\circ} = \frac{1}{4} \sqrt{2} – \frac{1}{4} \sqrt{6}\)
\(\cos 15^{\circ} = \frac{1}{4} \left( \sqrt{2} – \sqrt{6} \right)\)
Cara keduanya kerjakan sendiri aja yaa . . .
Nomor 3
\(\tan 15^{\circ} = \tan \left( 45^{\circ} – 30^{\circ} \right)\)
\(\tan 15^{\circ} = \frac {\tan 45^{\circ} – \tan 30^{\circ}}{1 + \left( \tan 45^{\circ} \times \tan 30^{\circ} \right)}\)
\(\tan 15^{\circ} = \frac{1 – \frac {1}{3} \sqrt{3}}{1 + \left( 1 \times \frac {1}{3} \sqrt{3} \right)}\)
\(\tan 15^{\circ} = \frac {\frac{3 – \sqrt{3}}{3}}{\frac {3 + \sqrt{3}}{3}}\)
\(\tan 15^{\circ} = \frac {3 – \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\)
Dalam soal pilihan ganda biasanya hasilnya cukup sampai disitu, tapi jika pada esay biasanya harus sampai bentuk yang paling sederhana. Nah bentuk diatas belum rasional sehingga harus dirasionalkan terlebih dahulu, caranya kalikanlah dengan sekawan penyebutnya. Oke lanjut!
\(\tan 15^{\circ} = \frac {\left(3 – \sqrt{3} \right)}{\left( 3 + \sqrt{3} \right)} \times \frac{\left( 3 – \sqrt{3} \right)}{\left( 3 – \sqrt{3} \right)}\)
\(\tan 15^{\circ} = \frac {9 – 3 \sqrt{3} – 3 \sqrt{3} + 3}{9 – 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} – 3}\)
\(\tan 15^{\circ} = \frac {12 – 6 \sqrt{3}}{6}\)
\(\tan 15^{\circ} = 2 – \sqrt {3}\)
Cara keduanya kerjakan sendiri aja yaa . . .
Nomor 4
\(\cos 75^{\circ} = \cos \left( 45^{\circ} + 30^{\circ} \right)\)
\(\cos 75^{\circ} = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} – \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ}\)
\(\cos 75^{\circ} = \left( \frac{1}{2} \sqrt{2} \times \frac{1}{2} \sqrt{3} \right) – \left( \frac{1}{2} \sqrt{2} \times \frac{1}{2} \right)\)
\(\cos 75^{\circ} = \frac{1}{4} \sqrt{6} – \frac{1}{4} \sqrt{2}\)
\(\cos 75^{\circ} = \frac{1}{4} \left( \sqrt{6} – \sqrt{2} \right)\)
Nomor 5
\(\tan 105^{\circ} = \tan \left( 60^{\circ} + 45^{\circ} \right)\)
\(\tan 105^{\circ} = \frac {\tan 60^{\circ} + \tan 45^{\circ}}{1 – \left( \tan 60^{\circ} \times \tan 45^{\circ} \right)}\)
\(\tan 105^{\circ} = \frac {\sqrt{3} + 1}{1 – \left( \sqrt{3} \times 1 \right)}\)
\(\tan 105^{\circ} = \frac {\sqrt{3} + 1}{1 – \sqrt{3}}\)
\(\tan 105^{\circ} = \frac {1 + \sqrt{3}}{1 – \sqrt{3}}\)
Sekarang saya tunjukan cara merasionalkan dengan cara yang lain, yaitu dengan mengubah bentunya. Perhatikan!
\(\tan 105^{\circ} = \frac {\left( 1 + \sqrt{3} \right)}{\left( 1 – \sqrt{3} \right)} \times \frac {\left( 1 + \sqrt{3} \right)}{\left( 1 + \sqrt{3} \right)}\)
\(\tan 105^{\circ} = \frac {\left( 1+ \sqrt{3} \right)^{2}}{1^{2} – \sqrt{3}^{2}}\)
\(\tan 105^{\circ} = \frac {1 + 2 \sqrt{3} + 3}{1 – 3}\)
\(\tan 105^{\circ} = \frac {4 + 2 \sqrt{3}}{-2}\)
\(\tan 105^{\circ} = -2 – \sqrt{3}\)

Baik, itulah pembahasan lengkap pembuktian jumlah dan selisih dua sudut trigonometri beserta soal dan jawabannya. Agar kamu tidak ketinggalan artikel baru silahkan untuk berlangganan artikel gratis di Edumatik.Net
Jika tulisan ini bermanfaat silahkan share, dan jangan lupa untuk memberikan penilaian terhadap tulisan ini. see you, bye . . .

Beri nilai tulisan ini!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

− 3 = 2