Contoh soal teorema limit dan penyelesaiannya
sumber: freepik.com

Sifat-Sifat Limit Fungsi Aljabar

Posted on 402 views

Edumatik.Net – Di tulisan ini kita akan belajar contoh soal teorema limit dan penyelesaiannya, atau bisa juga disebut soal dan pembahasan sifat-sifat limit fungsi. Keduanya sama aja karena dalam buku kalkulus edisi 5 jilid 1, sifat-sifat limit fungsi aljabar sama dengan teorema limit utama.

Sebelum kita masuk ke contoh soal dan pembahasan teorema limit fungsi, kamu udah baca tulisan menyelesaikan limit cara substitusi belum? Kalau belum, kamu harus baca dulu. Karena contoh teorema limit fungsi ini menyelesaikannya dengan cara substitusi.

Jadi, baiknya kamu baca dulu agar kamu paham dengan apa yang akan kita bahas sekarang. Jika kamu udah baca kita akan lanjut pembahasannya. Oke inilah dia teorema limit beserta contoh soal, perhatikan baik-baik yaa!

Misalkan \(n\) merupakan bilangan positif, \(k\) merupakan konstanta, \(f\) dan \(g\) adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di \(a\), maka:

1). \(\displaystyle \lim_{x \to a} k = k\)

Contoh
\(\displaystyle \lim_{x \to 2} 3 = 3\)

2). \(\displaystyle \lim_{x \to a} x = a\)

Contoh
\(\displaystyle \lim_{x \to 2} x = 2\)

3). \(\displaystyle \lim_{x \to a} \left[ k f(x) \right] = k \left[ \lim_{x \to a} f(x) \right]\)

Contoh
\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to 2} 3x^{2} &= 3 \left[ \lim_{x \to 2} x^{2} \right] \\
&= 3 . (2)^{2} \\
&= 3 . 4 \\
&= 12 \end{aligned}\)

4). \(\displaystyle \lim_{x \to a} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)\)

Contoh 1
\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to 3} \left( x^{2} + 2x \right) &= \lim_{x \to 3} x^{2} + \lim_{x \to 3} 2x \\
&= 3^{2} + 2 . \lim_{x \to 3} x \\
&= 9 + 2 . 3 \\
&= 9 + 6 \\
&= 15 \end{aligned}\)

Contoh 2
\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to 3} \left( x^{3} – 2x \right) &= \lim_{x \to 3} x^{2} – \lim_{x \to 3} 2x \\
&= 3^{3} – 2 . \lim_{x \to 3} x \\
&= 27 – 2 . 3 \\
&= 27 – 6 \\
&= 21 \end{aligned}\)

5). \(\displaystyle \lim_{x \to a} \left[ f(x) . g(x) \right] = \lim_{x \to a} f(x) . \lim_{x \to a} g(x)\)

Contoh
\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to -2} \left( x^{2} . x \right) &= \lim_{x \to -2} x^{2} . \lim_{x \to -2} x \\
&= (-2)^{2} . (-2) \\
&= 4 . (-2) \\
&= -8 \end{aligned}\)

6). \(\displaystyle \lim_{x \to a} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)}{\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)}\) dengan \(\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) \neq 0\)

Contoh
\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \left[ \frac{x^{2} + 3}{x+1} \right]\)

\(= \frac{\displaystyle \lim_{x \to 1} (x^{2} + 3)}{\displaystyle \lim_{x \to 1} (x+1)}\)

\(= \frac{\displaystyle \lim_{x \to 1} x^{2} + \lim_{x \to 1} 3}{\displaystyle \lim_{x \to 1} x+ \lim_{x \to 1} 1}\)

\(= \frac{ 1^{2} + 3}{ 1+ 1}\)

\(= \frac{ 1 + 3}{2}\)

\(= \frac{4}{2}\)

\(= 2\)

7). \(\displaystyle \lim_{x \to a} \left[ f(x) \right]^{n} = \left[ \lim_{x \to a} f(x) \right]^{n}\)

Contoh
\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \left[ 3x^{2} – 1 \right]^{5} = \left[ \lim_{x \to 1} (3x^{2} – 1) \right]^{5}\)

\(\displaystyle = \left[ \lim_{x \to 1} 3x^{2} – \lim_{x \to 1} 1 \right]^{5}\)

\(= \left[ 3(1)^{2} -1 \right]^{5}\)

\(= \left[ 3 -1 \right]^{5}\)

\(= \left[ 2 \right]^{5}\)

\(= 32\)

8). \(\displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt[n] {f(x)} = \sqrt[n] {\lim_{x \to a} f(x)}\) dengan \(f(x) > 0\) dan \(n\) genap.

Sifat nomor 8 ini bentuk akar, seperti ribet tapi sebenarnya mudah. Inilah contoh soal limit fungsi aljabar bentuk akar.

\(\displaystyle \lim_{x \to 5} \sqrt[3] {x^{2} + 2}\)

\(\displaystyle = \sqrt[3] {\lim_{x \to 5} (x^{2} + 2})\)

\(\displaystyle = \sqrt[3] {\lim_{x \to 5} x^{2} + \lim_{x \to 5} 2}\)

\(= \sqrt[3] {5^{2} + 2}\)

\(= \sqrt[3] {25 + 2}\)

\(= \sqrt[3] {27}\)

\(= \sqrt[3] {3^{3}}\)

\(= 3^{\frac{3}{3}}\)

\(= 3^{1}\)

\(= 3\)

Itulah tadi 8 teorema limit fungsi aljabar atau teorema limit utama beserta contoh soalnya. Selanjutnya akan diberikan contoh soal dari penerapan teorema limit utama, berikut ini adalah contohnya.

\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \left[ \frac {5x^{3} – 2x}{x^{3} + 1} \right]^{3}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} &= \left[ \lim_{x \to 2} \left( \frac {5x^{3} – 2x}{x^{3} + 1} \right) \right]^{3} (\text{Sifat 7}) \\
&= \left[ \frac {\displaystyle \lim_{x \to 2} \left( 5x^{3} – 2x \right)}{\displaystyle \lim_{x \to 2} \left( x^{3} + 1 \right)} \right]^{3} (\text{Sifat 6}) \\
&= \left[ \frac {\displaystyle \lim_{x \to 2} 5x^{3} – \lim_{x \to 2} 2x}{\displaystyle \lim_{x \to 2} x^{3} + \lim_{x \to 2} 1} \right]^{3} (\text{Sifat 4}) \\
&= \left[ \frac {5(2)^{3} – 2(2)}{(2)^{3} + 1} \right]^{3} (\text{Sifat 1, 2}) \\
&= \left[ \frac {5 . 8 – 4}{8 + 1} \right]^{3} \\
&= \left[ \frac {40 – 4}{9} \right]^{3} \\
&= \left[ \frac {36}{9} \right]^{3} \\
&= \left[ 4 \right]^{3} \\
&=64 \end{aligned}\)

Sekarang kamu udah tau nih cara menggunakan teorema atau sifat-sifat limit fungsi. Karena udah tau, sekarang kamu boleh meringkas tahapan-tahapannya. Maksudnya gimana? Ya kamu gak perlu menuliskan setiap sifat dalam menjawab soal, kamu bisa langsung meringkasnya.

Oke kita selesaikan lagi contoh diatas menggunakan cara yang lebih ringkas, perhatikan baik-baik!

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to 2} \left[ \frac {5x^{3} – 2x}{x^{3} + 1} \right]^{3} &= \left[ \frac {5(2)^{3} – 2(2)}{(2)^{3} + 1} \right]^{3} \\
&= \left[ \frac {5(8)- 4}{(8)+ 1} \right]^{3} \\
&= \left[ \frac {40- 4}{9} \right]^{3} \\
&= \left[ \frac {36}{9} \right]^{3} \\
&= \left[ 4 \right]^{3} \\
&= 62 \end{aligned}\)

Gimana, lebih mudah kan?
Selanjutnya kita akan gunakan cara yang lebih mudah ini ketika menjawab sebuah soal. Oke, lanjut ke soal berikutnya.

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to 3} \sqrt[3] {x^{2}-1} &= \sqrt[3] {3^{2}-1} \\
&= \sqrt[3] {9-1} \\
&= \sqrt[3] {8} \\
&= \sqrt[3] {2^{3}} \\
&= 2 \end{aligned}\)

Terakhir nih contohnya, agar kamu lebih paham lagi mengenai contoh soal dari sifat limit fungsi, perhatikan yaa!

Diketahui \(\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = 4\) dan \(\displaystyle \lim_{x \to 2} g(x) = 9\), tentukanlan!

a). \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \left( g(x) – f(x) \right)\)

b). \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{g(x)}{f(x)} \right)\)

c). \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{g(x) – f(x)}{f(x)+1} \right)\)

d). \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \left( 2g(x) + \frac{1}{2} f(x) \right)\)

Jawab a
\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \left( g(x) – f(x) \right)\)

\(\displaystyle \begin{aligned} &= \lim_{x \to 2} g(x) – \lim_{x \to 2} f(x) \\
&= 9-4 \\
&=5 \end{aligned}\)

Jawab b
\(\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{g(x)}{f(x)} \right) &= \frac{ \displaystyle \lim_{x \to 2} g(x)}{\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)} \\
&= \frac{9}{4} \end{aligned}\)

Jawab c
\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{g(x) – f(x)}{f(x)+1} \right)\)

\(= \frac{\displaystyle \lim_{x \to 2} g(x) -\lim_{x \to 2} f(x)}{\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)+\lim_{x \to 2} 1}\)

\(= \frac{9 -4}{4+1}\)

\(= \frac{5}{5}\)

\(= 1\)

Jawab d
\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \left( 2g(x) + \frac{1}{2} f(x) \right)\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to 2} 2g(x) + \lim_{x \to 2} \frac{1}{2} f(x)\)

\(\displaystyle = 2 \lim_{x \to 2} g(x) + \frac{1}{2} \lim_{x \to 2} f(x)\)

\(= 2 (9) + \frac{1}{2} 4\)

\(= 18 + 2\)

\(= 20\)

Itulah contoh soal teorema limit dan penyelesaiannya, semoga paham yaa dengan apa yang dijelaskan diatas. Berikutnya kita akan belajar cara menyelesaikan limit dengan pemfaktoran dan kali akar sekawan, oh ya jika tulisan ini bermanfaat silahkan share yaa.

0 0 vote
Article Rating
Beri tahu saya!
Notifikasi
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments