Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
sumber: freepik.com

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Posted on 101 views
5/5 - (7 votes)

Edumatik.Net – Pada artikel ini aku akan bahas SPLTV atau Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel super lengkap mulai dari pengertian, contoh soal, sampai dengan jawabannya.

Apa itu sistem persamaan linear tiga variabel?
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear yang memiliki tiga variabel dan biasanya variabel yang dimaksud disimbolkan dengan huruf x, y, dan z.

Adapun bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut:

\(\color{red}{a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1}}\)
\(\color{red}{a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2}}\)
\(\color{red}{a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3}}\)

Advertisements

Keterangan:
\(a_{1}, a_{2}, a_{3}\), \(b_{1}, b_{2}, b_{3}\), \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) merupakan koefisien.
\(x, y, z\) merupakan variabel.
\(d_{1}, d_{2}, d_{3}\) merupakan konstanta.

Cara Menyelesaikan SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel)

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel ada beberapa metode, di artikel ini kita akan menggunakan tiga metode yaitu, substitusi, eliminasi, dan gabungan (eliminasi dan substitusi).

Biar kamu paham, aku akan coba kasih soal dan pembahasan sistem persamaan linear tiga variabel.

Perhatikan soal berikut!
Anwar ingin membeli 4 buku, 3 pensil, dan 2 penghapus dengan membawa uang Rp.40.000. Berpakah kembalian uang Anwar jika diketahui harga-harga sebagai berikut:
2 buku, 1 pensil, dan 3 penghapus adalah Rp.23.000;
1 buku, 1 pensil, dan 2 penghapus adalah Rp.15.000;
2 buku, 2 pensil, dan 1 penghapus adalah Rp.21.000;

Advertisements

Misalkan: buku adalah \(x\), pensil adalah \(y\), dan penghapus adalah \(z\). Maka model matematika sistem persamaan linear tiga variabelnya adalah sebagai berikut:

\(\begin{cases} 2x + y + 3z &= 23000 \\ x + y + 2z &= 15000 \\ 2x + 2y + z &= 21000 \end{cases}\)

Untuk memudahkan perhitungan, kita simpan dulu tiga nol dibelakang dan kasih nama \(P_{1}\) untuk persamaan satu, \(P_{2}\) untuk persamaan dua, dan \(P_{3}\) untuk persamaan tiga.

\(2x + y + 3z = 23\) …\(P_{1}\)
\(x + y + 2z = 15\) …\(P_{2}\)
\(2x + 2y + z = 21\) …\(P_{3}\)

1. Metode Substitusi

Metode substitusi adalah salah satu metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Metode substitusi cara kerjanya dengan mengganti variabel hingga akhirnya mendapatkan nilai dari variabel yang diinginkan.

Langkah-langkah metode substitusi pada sistem persamaan linear tiga variabel aku bagi jadi tiga langkah, berikut ini penjelasan lengkapnya.

Langkah 1
Pilih satu persamaan kemudian ubah pernyataannya kedalam bentuk dua variabel lain, setelah itu beri nama.

Misal kita ambil \(P_{1}\) dan kita nyatakan \(y\) dalam bentuk \(x\) dan \(z\).

\(2x + y + 3z = 23\)
\(y = 23 – 2x – 3z\) …\(P_{4}\)
Biar gak pusing kita kasih nama \(P_{4}\) aja yaa.

Langkah 2
Masukan \(P_{4}\) kedalam dua persamaan lain, yaitu kedalam \(P_{2}\) dan \(P_{3}\) setelah itu beri nama persamaan baru yang terbentuk.

\(P_{4}\) ke \(P_{2}\)
\(x + y + 2z = 15\)
\(x + (23 – 2x – 3z) + 2z = 15\)
\(x + 23 – 2x – 3z + 2z = 15\)
\(– x – z = 15 – 23\)
\(– x – z = -8\) …\(P_{5}\)

\(P_{4}\) ke \(P_{3}\)
\(2x + 2y + z = 21\)
\(2x + 2(23 – 2x – 3z) + z = 21\)
\(2x + 46 – 4x – 6z + z = 21\)
\(-2x – 5z = 21-46\)
\(-2x – 5z = -25\) …\(P_{6}\)

Langkah 3
Selesaikan dua persamaan baru yang didapat dari langkah 2 menggunakan metode substitusi (seperti SPLDV).

Advertisements

\(– x – z = -8\) …\(P_{5}\)
\(-2x – 5z = -25\) …\(P_{6}\)

Dari \(P_{5}\) kita dapatkan persamaan baru, yaitu \(x = -z + 8\) …\(P_{7}\).

Masukan \(P_{7}\) ke \(P_{6}\)
\(-2(-z + 8) – 5z = -25\)
\(2z – 16 – 5z = -25\)
\(-3z = -25 + 16\)
\(-3z = -9\)
\(\displaystyle z = \frac{-9}{-3}\)
\(z = 3\)

Masukan \(z = 3\) ke \(P_{7}\)
\(x = -z + 8\)
\(x = -3 + 8\)
\(x = 5\)

Masukan \(z = 3\) dan Masukan \(x = 5\) ke \(P_{4}\).
\(y = 23 – 2x – 3z\)
\(y = 23 – 2(5) – 3(3)\)
\(y = 23 – 10 – 9\)
\(y = 4\)

Jadi \((x,y,z) = (5,4,3)\)
atau
Buku Rp.5.000;
Pensil Rp.4.000;
Penghapus Rp.3.000;

Ingat pertanyaan pada soal!
Anwar ingin membeli 4 buku, 3 pensil, dan 2 penghapus dengan membawa uang Rp.40.000. Berpakah kembalian uang Anwar?

\(\begin{aligned} 4x + 3y + 2z &= 4 (5000) + 3(4000) + 2 (3000) \\ &= 4 (5000) + 3(4000) + 2 (3000) \\ &= 20000 + 12000 + 6000 \\ &= 38000 \end{aligned}\)

Uang Anwar = Rp.40.000;
Belanja = Rp.38.000;
Kembalian = Rp.2.000;

Taraaa!
Akhirnya soal sistem persamaan linear tiga variabel di atas terjawab juga. Berikutnya kita akan menggunakan cara yang kedua yaitu metode eliminasi.

2. Metode Eliminasi

Metode elimasi cara kerjanya dengan menghilangkan variabel lain untuk mendapatkan nilai dari variabel yang diinginkan.

Kita akan menggunakan contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel sebelumnya untuk memahami metode eliminasi ini, kamu akan lihat kalau metode ini juga akan menghasilkan nilai yang sama.

Biar gak pusing langsung aja praktek, inilah contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel metode eliminasi.

Perhatikan soal berikut!
\(2x + y + 3z = 23\) …\(P_{1}\)
\(x + y + 2z = 15\) …\(P_{2}\)
\(2x + 2y + z = 21\) …\(P_{3}\)

Advertisements

Langkah 1
Tentukan variabel yang akan dieliminasi/dihilangkan, kemudian eliminasi menggunakan dua persamaan yang berbeda. Biasanya \(P_{1}\) \(P_{2}\), \(P_{1}\) \(P_{3}\)

Untuk mengeliminasi suatu variabel maka koefisien dari varibel yang akan di eliminasi pada kedua persamaan tersebut harus sama. Agar lebih mudah, kita akan mengeliminasi \(y\) karena koefisiennya udah sama.

Eliminasi \(P_{1}\) dan \(P_{2}\)
\(2x + y + 3z = 23\)
\(\displaystyle \frac{x + y + 2z = 15}{} -\)
\(x + z = 8\) …\(P_{4}\)

Eliminasi \(P_{1}\) dan \(P_{3}\)
\(2x + y + 3z = 23\)
\(2x + 2y + z = 21\)
Karena kita akan menghilangkan \(y\), maka \(P_{1}\) harus dikali 2 agar koefisien \(y\) sama dengan \(P_{3}\)

\(4x + 2y + 6z = 46\) …\(2 P_{1}\)
\(\displaystyle \frac{2x + 2y + z = 21}{} -\)
\(2x + 5z = 25\) …\(P_{5}\)

Langkah 2
Eliminasi persamaan \(P_{4}\) dan \(P_{5}\) untuk mendapatkan nilai dari dua variabel.

\(x + z = 8\)
\(\displaystyle \frac{2x + 5z = 25}{} -\)

Jangan lupa, kita samakan dulu koefisiennya. Misalkan kita akan eliminasi variabel \(x\), maka kita kalikan \(2\) ke persamaan\(P_{4}\).

\(2x + 2z = 16\) …\(2P_{4}\)
\(\displaystyle \frac{2x + 5z = 25}{} -\) …\(P_{5}\)
\(-3z = -9\)
\(z = 3\)

Untuk mencari \(x\), kita eliminasi variabel \(z\). Jangan lupa untuk menyamakan koefisiennya dulu.

\(5x + 5z = 40\) …\(5P_{4}\)
\(\displaystyle \frac{2x + 5z = 25}{} -\) …\(P_{5}\)
\(3x = 15\)
\(x = 5\)

Langkah 3
Ulangi langkah 1 dan langkah 2 untuk mencari nilai variabel terakhir, tentunya variabel yang akan di cari jangan di eliminasi.

Eliminasi \(x\) menggunakan \(P_{1}\) dan \(P_{2}\)
\(2x + y + 3z = 23\) …\(P_{1}\)
\(\displaystyle \frac{2x + 2y + 4z = 30}{} -\) …\(2P_{2}\)
\(-y -z = -7\) …\(P_{6}\)

Eliminasi \(x\) menggunakan \(P_{1}\) dan \(P_{3}\)
\(2x + y + 3z = 23\)
\(\displaystyle \frac{2x + 2y + z = 21}{} -\)
\(-y + 2z = 2\) …\(P_{7}\)

Eliminasi \(z\) menggunakan \(P_{6}\) dan \(P_{7}\)
\(-2y -2z = -14\) …\(2P_{6}\)
\(\displaystyle \frac{-y + 2z = 2}{} +\) …\(P_{7}\)
\(-3y = -12\)
\(y = 4\)

Jadi \((x,y,z) = (5,4,3)\)
atau
Buku Rp.5.000;
Pensil Rp.4.000;
Penghapus Rp.3.000;

\(\begin{aligned} 4x + 3y + 2z &= 4 (5000) + 3(4000) + 2 (3000) \\ &= 4 (5000) + 3(4000) + 2 (3000) \\ &= 20000 + 12000 + 6000 \\ &= 38000 \end{aligned}\)

Uang Anwar = Rp.40.000;
Belanja = Rp.38.000;
Kembalian = Rp.2.000;

Nah itulah contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel metode eliminasi, gampang banget kan?

3. Metode Gabungan

Metode gabungan adalah metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggabungkan metode substiusi dan metode eliminasi.

Dalam prakteknya bisa aja substitusi dulu kemudian eliminasi atau sebaliknya. Aku sendiri lebih suka eliminasi dulu lalu substitusi.

\(2x + y + 3z = 23\) …\(P_{1}\)
\(x + y + 2z = 15\) …\(P_{2}\)
\(2x + 2y + z = 21\) …\(P_{3}\)

Advertisements

Karena kamu udah tau metodenya, jadi aku langsung aja ya ke cara menyelesaikannya. Kita akan gunakan metode eliminasi lalu disambung metode substitusi.

\(2x + y + 3z = 23\) …\(P_{1}\)
\(\displaystyle \frac{x + y + 2z = 15}{} -\) …\(P_{2}\)
\(x + z = 8\) …\(P_{4}\)

Terkadang kita juga harus jeli memilih persamaan yang akan digunakan. Langkah paling cepat, kita pilih \(P_{2}\) dan \(P_{3}\)

\(2x + 2y + 4z = 30\) …\(2P_{2}\)
\(\displaystyle \frac{2x + 2y + z = 21}{} -\) …\(P_{3}\)
\(3z = 9\)
\(z = 3\)

Selanjutnya substitusikan \(z\) ke \(P_{4}\)

\(x + z = 8\)
\(x + 3 = 8\)
\(x = 8-3\)
\(x = 5\)

Untuk mencari \(y\), ambil salah satu persamaan dan nyatakan \(y\) dalam bentuk \(x\) dan \(z\). Misalkan kita ambil \(P_{2}\)

\(x + y + 2z = 15\)
\(y = 15 – x – 2z\)
\(y = 15 – 5 – 2(3)\)
\(y = 15 – 5 – 6\)
\(y = 4\)

Jadi \((x,y,z) = (5,4,3)\)
atau
Buku Rp.5.000;
Pensil Rp.4.000;
Penghapus Rp.3.000;

\(\begin{aligned} 4x + 3y + 2z &= 4 (5000) + 3(4000) + 2 (3000) \\ &= 4 (5000) + 3(4000) + 2 (3000) \\ &= 20000 + 12000 + 6000 \\ &= 38000 \end{aligned}\)

Uang Anwar = Rp.40.000;
Belanja = Rp.38.000;
Kembalian = Rp.2.000;

Soal Sistem Pesamaan Linear Tiga Variabel

Agar kamu lebih paham lagi coba deh kerjain soal-soal dibawah ini!
Dengan sering latihan mengerjakan soal, pastinya kamu akan lebih menguasai soal sistem persamaan linear tiga variabel ini dengan baik.

1). Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut!
\(\begin{cases} 2x + y + 3z &= 12 \\ x + 3y &= -1 \\ \frac{1}{3} z &= 1 \end{cases}\)

2). Selesaikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut!
Zahira ingin membeli 4 buah pir, 2 buah apel, dan 3 buah jeruk. Berapa yang harus dibayar Zahira apabila diketahui ketentuan sebagai berikut!
3 pir, 2 apel, 1 jeruk harganya Rp.25.000;
2 pir, 3 apel, 2 jeruk harganya Rp.29.000;
1 pir, 2 apel, 3 jeruk harganya Rp.23.000;

Nah itulah pembahasan awal sistem persamaan linear tiga variabel. Bagikan tulisan ini agar orang lain mendapatkan manfaatnya juga, ajak temen-temen kamu untuk belajar matematika di Edumatik, karena semuanya gratiiisss..!!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *