soal integral parsial dan jawabannya

Soal Integral Parsial dan Jawabannya

Posted on 27 views

Edumatik.Net – Pada tulisan ini kamu akan belajar contoh soal integral parsial beserta dengan jawabannya. Tapi sebelum masuk ke contoh soal integral, kita akan pahami dulu konsep dasar integral parsial.

Apa yang dimaksud dengan integral parsial? Integral parsial adalah salah satu teknik pengintegralan untuk menyelesaikan masalah integral yang tidak bisa diselesaikan dengan rumus dasar dan metode substitusi.

Rumus Integral Parsial

Rumus Integral Parsial
Advertisements

Sebelum membahas bagaimana cara menerapkan rumus, sebaiknya kita cari tau dulu seperti apa sih pembuktian rumus integral parsial tersebut!

Nah berikut ini adalah pembuktian rumus integral parsial secara sederhana, mudah-mudahan kamu bisa memahaminya dengan baik.

Masih ingat aturan turunan hasil kali dua buah fungsi? Itu lho yang ada uv uv nya. Turunan dari hasil perkalian \(u\) dan \(v\) adalah \(u’v + uv’\). Nah kalau kita tulis jadinya seperti ini!

\(\displaystyle \frac{d(u.v)}{dx} = (du . v) + (u . dv)\)

\(\displaystyle (u . dv) = \frac{d(u.v)}{dx} – (du . v)\)

\(\displaystyle (u . dv) = \frac{d(u.v)}{dx} – (v . du)\)

\(\displaystyle \color{red}{\int} u \space dv = \color{red}{\int} \frac{d(u.v)}{dx} – \color{red}{\int} v \space du\)

\(\displaystyle \int u \space dv = uv – \int v \space du\) (terbukti)

Note: turunan dan integral saling menghilangkan, ketika sebuah fungsi diturunkan kemudian di integralkan maka bentuk fungsi tersebut akan tetap.

Bagaimana cara menggunakan rumus integral parsial? Yaitu dengan mengubah soal kedalam bentuk \(\int u \space dv\) lalu cari komponen-komponen lainnya, yakni \(u, v,\) dan \(du\). Setelah itu, substitusikan komponen yang sudah diketahui kedalam rumusan kemudian selesaikan.

Contoh Soal Integral Parsial

Sekarang kita akan terapkan rumus integral parsial untuk menyelesaikan permasalahan integral parsial contoh.

Nah berikut ini adalah contoh soal integral parsial untuk membantu kamu dalam memahami materi integral parsial.

Advertisements

1). Tentukan hasil dari \(\displaystyle \int x \sqrt{x} \space dx\)

Jawab:

\(\displaystyle \int \color{red}{x} \color{blue}{\sqrt{x} \space dx}\)

Misalkan,

\(\displaystyle \color{red}{u = x}\) maka

\(\displaystyle \frac{du}{dx} = 1\) atau

\(\displaystyle \color{red}{du = dx}\)

Misalkan,
\(\displaystyle \color{blue}{dv = \sqrt{x} \space dx}\) maka

\(\displaystyle \int dv = \int \sqrt{x} \space dx\)

\(\displaystyle v = \int x^{\frac{1}{2}} \space dx\)

\(\displaystyle v = \int x^{\frac{1}{2}} \space dx\)

\(\displaystyle \color{blue}{v = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + c}\)
Silahkan baca materi dasar integral aljabar jika kamu belum paham perubahan bentuknya.

Kembali ke rumus integral parsial,
\(\displaystyle \int u \space dv = uv – \int v \space du\)

\(\displaystyle \int x \sqrt{x} \space dx = \left( x . \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right) – \left( \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \space dx \right)\)

\(\displaystyle \int x \sqrt{x} \space dx = \frac{2}{3} x^{\frac{5}{2}} – \left( \frac{2}{3} . \int x^{\frac{3}{2}} \space dx \right)\)

\(\displaystyle \int x \sqrt{x} \space dx = \frac{2}{3} x^{\frac{5}{2}} – \left( \frac{2}{3} . \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \right)\)

\(\displaystyle \int x \sqrt{x} \space dx = \frac{2}{3} x^{\frac{5}{2}} – \frac{4}{15} x^{\frac{5}{2}}\)

\(\displaystyle \int x \sqrt{x} \space dx = \frac{10}{15} x^{\frac{5}{2}} – \frac{4}{15} x^{\frac{5}{2}}\)

\(\displaystyle \int x \sqrt{x} \space dx = \frac{6}{15} x^{\frac{5}{2}} + C\)

Mudah banget kan soal integral parsial diatas? Semoga kamu paham dengan penjelasannya. Selanjutnya kita akan coba bahas integral parsial contoh dengan level yang lebih tinggi.

2). Tentukanlah anti turunan dari \(\displaystyle \int x (x+3)^{4} \space dx\) !

Jawab:

\(\displaystyle \int \color{red}{x} \color{blue}{(x+3)^{4} \space dx}\)

Misalkan,

\(\displaystyle \color{red}{u = x}\) maka

\(\displaystyle \frac{du}{dx} = 1\) atau

\(\displaystyle \color{red}{du = dx}\)

Misalkan,
\(\displaystyle \color{blue}{dv = (x+3)^{4} \space dx}\) maka

\(\displaystyle v =\int (x+3)^{4} \space dx\)

Karena gak bisa di integralkan langsung, kita akan pakai metode integral substitusi untuk mencari bentuk \(v\)

Misalkan \(a = x+3\), maka \(\displaystyle \frac{da}{dx} =1\) atau \(da = dx\). Selanjutnya kita masukan ke rumusan \(v\).

\(\displaystyle v =\int a^{4} \space da\)

\(\displaystyle v = \frac{1}{5} a^{5}\)

\(\displaystyle \color{blue}{v = \frac{1}{5} (x+3)^{5}}\)

Komponen sudah lengkap, selanjutnya kita substitusikan ke rumus integral parsial.

\(\displaystyle \int u \space dv = uv – \int v \space du\)

\(\displaystyle \int x (x+3)^{4} \space dx = x . \frac{1}{5} (x+3)^{5} – \int \frac{1}{5} (x+3)^{5} \space dx\)

Gunakan metode integral substitusi lagi pada bentuk \(\int \frac{1}{5} (x+3)^{5} \space dx\), sehingga hasilnya seperti berikut!

\(\displaystyle \int x (x+3)^{4} \space dx = x . \frac{1}{5} (x+3)^{5} – \frac{1}{5} . \frac{1}{6} (x+3)^{6}\)

\(\displaystyle \int x (x+3)^{4} \space dx = x . \frac{1}{5} (x+3)^{5} – \frac{1}{5} (x+3)^{5} . \frac{1}{6} (x+3)\)

\(\displaystyle \int x (x+3)^{4} \space dx = \frac{1}{5} (x+3)^{5} \left( x – \frac{1}{6} (x+3) \right)\)

\(\displaystyle \int x (x+3)^{4} \space dx = \frac{1}{5} (x+3)^{5} \left( \frac{6x – x + 3}{6} \right)\)

\(\displaystyle \int x (x+3)^{4} \space dx = \frac{1}{5} (x+3)^{5} \left( \frac{5x + 3}{6} \right)\)

\(\displaystyle \int x (x+3)^{4} \space dx = \frac{1}{30} (x+3)^{5} (5x + 3)\)

Advertisements

Selesaaiii!
Tenang jangan dulu kabur, ada cara yang lebih simpel kok. Tapi cara di atas juga harus bisa yaa! Kita hargai para pemikir terdahulu yang sudah menciptakan cara di atas.

Meskipun metode integral parsial di atas caranya cukup panjang, tapi penyelesaiannya sederhana kok. Kamu tinggal melakukan pemisalan dan mensubstitusikannya ke rumus integral parsial.

Cara Cepat Menyelesaikan Masalah Integral Parsial

Seperti judulnya cara ini memang lebih cepat prosesnya daripada menggunakan rumus integral parsial pada pembahasan di atas, seperti apakah caranya? Simak baik-baik yaa!

Agar tidak pusing, aku akan pakai pemisalan berbeda dengan pembahasan di atas. Jika sebelumnya menggunakan simbol \(u \space dv\), sekarang kita akan gunakan simbol \(f(x) \space g(x)\).

Perhatikan!
\(\displaystyle \int f(x) g(x) \space dx\)

\(\displaystyle \color{red}{\int f(x) g(x) \space dx = f(x) g_{1} (x) – f'(x) g_{2} (x) + f”(x) g_{3} (x) – …}\)

Langkah pertama kita misalkan dulu yang mana sebagai \(f(x)\) dan yang mana sebagai \(g(x)\).

Langkah kedua tulis \(f(x)\) sebelah kiri dan \(g(x)\) sebelah kanan.

Langkah ketiga turunkan \(f(x)\) sampai \(0\) (nol) dan integralkan \(g(x)\) sampai pada turunan \(f(x)\) bernilai nol.

Langkah keempat kalikan secara menyilang dan masukan kedalam rumusan. Ingat!, tanda positif dan negatif berselang-seling.

Kita akan coba pada soal nomor 1 diatas!
\(\displaystyle \int x \sqrt{x} \space dx\)

Misalkan \(f(x) = x\) dan \(g(x) = \sqrt{x}\)

\(x\)\(\displaystyle \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\)
\(1\)\(\displaystyle \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\)
\(0\)\(\displaystyle \frac{4}{15} x^{\frac{5}{2}}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} \int x \sqrt{x} \space dx &= x . \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} – 1 . \frac{4}{15} x^{\frac{5}{2}} \\ &= \frac{2}{3} x^{\frac{5}{2}} – \frac{4}{15} x^{\frac{5}{2}} \\ &= \frac{10}{15} x^{\frac{5}{2}} – \frac{4}{15} x^{\frac{5}{2}} \\ &= \frac{6}{15} x^{\frac{5}{2}} + C \end{aligned}\)

Taaraaaa!
Sama kan dengan cara sebelumnya?
Untuk nomor 2 nya kamu coba sendiri aja yaa!

Soal Latihan Integral Parsial

Setelah kamu memahami pembahasan soal integral parsial, ada baiknya kamu langsung mengerjakan soal latihan integral parsial berikut!

Advertisements

1). Tentukanlah penyelesaian dari \(\displaystyle \int x \sqrt{x+3} \space dx\)

2). Tentukanlah penyelesaian dari \(\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x+4}} \space dx\)

3). Diketahui \(f(x) = 2x (5-x)^{3}\), tentukanlah \(\displaystyle \int f(x) \space dx\)

4). Tentukanlah penyelesaian dari \(\displaystyle \int 5x (x+4)^{5} \space dx\)

5). Tentukan bentuk penyelesaian dari \(\displaystyle \int x \sqrt{3-2x} \space dx\)

Itulah beberapa soal integral parsial mulai dari pembuktian rumus sampai dengan contoh soalnya. Semoga kamu paham dengan soal integral parsial yang aku jelasin, sampai ketemu lagi di tulisan berikutnya.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *