Menu

Sudut Istimewa dan Pembuktiannya

Edumatik.Net – Dalam matematika ada lima sudut istimewa diataranya 0^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ} dan 90^{\circ}. Dibawah ini akan dijelaskan nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa. Sebelumnya sudah dijelaskan mengenai materi Definisi Perbandingan Trigonometri, jika Kamu belum membacanya sebaiknya baca terlebih dahulu agar Kamu memiliki pemahaman yang sempurna mengenai materi trigometri ini.

Dibawah ini adalah tabel sudut istimewa yang wajib Kamu hafalkan, sebab penggunaan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa ini akan sering digunakan.

Sudut0^{\circ}30^{\circ} 45^{\circ} 60^{\circ} 90^{\circ}

\sin \theta

0

\dfrac {1}{2}

\dfrac {1}{2} \sqrt{2}

\dfrac {1}{2} \sqrt{3}

1

\cos \theta

1

\dfrac {1}{2} \sqrt{3}

\dfrac {1}{2} \sqrt{2}

\dfrac {1}{2}

0

\tan \theta

0

\dfrac {1}{3} \sqrt{3}

1

\sqrt{3}

\infty


Tips Menghafal

Kamu cukup hafalkan tiga nilai perbandingan trigonometri diatas yaitu sin, cos, dan tan. Jika sudah hafal maka nilai perbandingan cot, sec, dan csc akan hafal juga. Masih ingat kan “Hubungan Pertama” yang Saya jelaskan di artikel sebelumnya, nah Kamu bisa mencarinya dengan menggunakan hubungan tersebut.

Contoh: Berapakah nilai dari \csc 30^{\circ}?

Dari tabel diatas Kita tahu bahwa nilai dari \sin 30^{\circ} = \dfrac {1}{2}.

Pada “Hubungan Pertama” sin itu berhungan dengan csc, dimana hubungan rumusnya adalah \csc \theta = \dfrac {1}{\sin \theta}. Jadi untuk mencari \csc 30^{\circ}, Kamu gunakan saja rumusan itu.

\csc 30^{\circ} = \dfrac {1}{\sin 30^{\circ}} .

\csc 30^{\circ} = \dfrac {1}{\dfrac{1}{2}} .

\csc 30^{\circ} = 1 \times \dfrac {2}{1} .

\csc 30^{\circ} = 2 .

Gimana mudah kan?

Cara menghafal nilai-nilai dalam tabel diatas juga mudah kok, coba aja Kamu perhatikan baik-baik. Kamu hanya perlu megghafalkan nilai sin aja, untuk nilai cos sama seperti nilai sin tapi dibalik. Nah untuk nilai tan dia juga berpola, dari yang paling kecil sampai ke yang paling besar.

Sekali lagi, Kamu harus benar-benar hafal nilai-nilai dalam tabel diatas karena kedepannya nilai dalam tabel tersebut akan sering digunakan.


Pembuktian Sudut Istimewa

SUDUT 45^{\circ}

Diatas merupakan segitiga sama kaki dengan panjang sisinya adalah a dan salah satu sudutnya adalah siku-siku.

Dapat dipastikan bahwa dua sudut lainnya sama besar yaitu 45^{\circ} (berasal dari teori “jumlah sudut dalam segitiga sama dengan 180^{\circ}), untuk sisi miringnya dapat dicari menggunakan rumus pythagoras.

Mi = \sqrt {a^{2}+a^{2}} .

Mi = \sqrt {2a^{2}} .

Mi = a \sqrt {2} .


Berdasarkan gambar diatas, perbandingan trigonometri untuk sudut 45^{\circ} sebagai berikut:

\sin 45^{\circ} = \dfrac {a}{a \sqrt{2}} .

\sin 45^{\circ} = \dfrac {1}{\sqrt{2}} .

\sin 45^{\circ} = \dfrac {1}{\sqrt{2}} \times \dfrac {\sqrt{2}}{\sqrt{2}} .

\sin 45^{\circ} = \dfrac {1}{2} \sqrt{2} (terbukti)


\cos 45^{\circ} = \dfrac {a}{a \sqrt{2}} .

\cos 45^{\circ} = \dfrac {1}{\sqrt{2}} .

\cos 45^{\circ} = \dfrac {1}{\sqrt{2}} \times \dfrac {\sqrt{2}}{\sqrt{2}} .

\cos 45^{\circ} = \dfrac {1}{2} \sqrt{2} (terbukti)


\tan 45^{\circ} = \dfrac {a}{a} .

\tan 45^{\circ} = 1 (terbukti)


SUDUT 30^{\circ} dan 60^{\circ}

Diatas merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi-sisinya adalah 2a, sehingga sudut-sudutnya sama besar yaitu 60^{\circ}. Jika ditarik garis tegak lurus sisi alas, maka akan tercipta segitiga baru seperti yang terlihat disebelah kanan. Sisi di depan sudut 60^{\circ} dapat dicari menggunakan rumus pythagoras.

De = \sqrt{\left( 2a \right)^{2}-a^{2}} .

De = \sqrt{4a^{2}-a^{2}} .

De = \sqrt{3a^{2}} .

De = a \sqrt{3} .


Sekarang tinjau berdasarkan sudut 60^{\circ}

\sin 60^{\circ} = \dfrac{a \sqrt{3}}{2a} .

\sin 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} \sqrt{3} (terbukti)


\cos 60^{\circ} = \dfrac{a}{2a} .

\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} (terbukti)


\tan 60^{\circ} = \dfrac{a \sqrt{3}}{a} .

\tan 60^{\circ} = \sqrt{3} (terbukti)


Sekarang tinjau berdasarkan sudut 30^{\circ}

\sin 30^{\circ} = \dfrac{a}{2a} .

\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2} (terbukti)


\cos 30^{\circ} = \dfrac{a \sqrt{3}}{2a} .

\cos 30^{\circ} = \dfrac{1}{2} \sqrt{3} (terbukti)


\tan 30^{\circ} = \dfrac{a}{a \sqrt{3}} .

\tan 30^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} .

\tan 30^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} .

\tan 30^{\circ} = \dfrac{1}{3} \sqrt{3} (terbukti)


SUDUT 0^{\circ} dan 90^{\circ}

Perhatikan gambar DASAR

Sisi didepan sudut \theta adalah y, disamping sudut \theta adalah x, dan sisi miring sudut \theta adalah r. Segitiga ini adalah acuan Kita untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 0^{\circ} dan 90^{\circ}, untuk membuktikannya mulailah dari panjang sisi 1 satuan sehingga bisa berlaku umum.

Sekarang tinjau gambar 0^{\circ}

0^{\circ} artinya sisi r berhimpit dengan sumbu X sehingga perbandingan trigonometrinya sebagai berikut:

\sin 0^{\circ} = \dfrac {y}{r} .

\sin 0^{\circ} = \dfrac {0}{1} .

\sin 0^{\circ} = 0 (terbukti)


\cos 0^{\circ} = \dfrac {x}{r} .

\cos 0^{\circ} = \dfrac {1}{1} .

\cos 0^{\circ} = 1 (terbukti)


\tan 0^{\circ} = \dfrac {y}{x} .

\tan 0^{\circ} = \dfrac {0}{1} .

\tan 0^{\circ} = 0 (terbukti)


Sekarang tinjau gambar 90^{\circ}

90^{\circ} artinya sisi r berhimpit dengan sumbu Y sehingga perbandingan trigonometrinya sebagai berikut:

\sin 90^{\circ} = \dfrac {y}{r} .

\sin 90^{\circ} = \dfrac {1}{1} .

\sin 90^{\circ} = 1 (terbukti)


\cos 90^{\circ} = \dfrac {x}{r} .

\cos 90^{\circ} = \dfrac {0}{1} .

\cos 90^{\circ} = 0 (terbukti)


\tan 0^{\circ} = \dfrac {y}{x} .

\tan 0^{\circ} = \dfrac {1}{0} .

\tan 0^{\circ} = \infty (terbukti)


Contoh:

1). Tentukan nilai dari \cos 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}!

Jawab:

\cos 60^{\circ} - \sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0 .


2). Tentukanlah nilai dari \sin^{2} 45^{\circ} + \cos^{2} 30^{\circ}!

Jawab:

\sin^{2}45^{\circ}+\cos^{2}30^{\circ}=\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} .

\sin^{2}45^{\circ}+\cos^{2}30^{\circ}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4} .

\sin^{2}45^{\circ}+\cos^{2}30^{\circ}=\dfrac{3}{4} .


3). Apabila P(x)=\left(\cos x - \sin x \right)^{2}, tentukanlah nilai dari P(30^{\circ})!

Jawab:

P(x)=\left(\cos x - \sin x \right)^{2} .

P(30^{\circ})=\left(\cos 30^{\circ} - \sin 30^{\circ}  \right)^{2} .

P(30^{\circ})=\left(\dfrac{1}{2} \sqrt{3} - \dfrac{1}{2} \right)^{2} .

P(30^{\circ})=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{1}{2} \right)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} .

P(30^{\circ})=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{4} .

P(30^{\circ})=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2} .


4). Tentukanlah nilai dari \dfrac {\sin^{2}30^{\circ}}{\cos 0^{\circ}}-\dfrac{\sin 90^{\circ}}{\cos^{2}45^{\circ}}+\tan^{2}60^{\circ}!

Jawab:

\dfrac {\sin^{2}30^{\circ}}{\cos 0^{\circ}}-\dfrac{\sin 90^{\circ}}{\cos^{2}45^{\circ}}+\tan^{2}60^{\circ}

=\dfrac{\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2}}{1} - \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2} \sqrt{2}\right)^{2}} + \left( \sqrt{3} \right)^{2} .

=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{1} - \dfrac{1}{\dfrac{1}{4} \times 2} + 3 .

=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{1} - \dfrac{1}{\dfrac{2}{4}} + 3 .

=\dfrac{1}{4} - \dfrac{4}{2} + 3 .

=\dfrac{1}{4} - 2 + 3 .

=\dfrac{1}{4}+1 .

=\dfrac{5}{4} .


5). Tentukanlah nilai dari \sin \dfrac{\pi}{6}+\cos \dfrac{\pi}{3}+\tan^{3} \dfrac{\pi}{4}!

Jawab:

\sin \dfrac{\pi}{6}+\cos \dfrac{\pi}{3}+\tan^{3} \dfrac{\pi}{4} .

=\sin \dfrac{180^{\circ}}{6}+\cos \dfrac{180^{\circ}}{3}+\tan^{3} \dfrac{180^{\circ}}{4} .

=\sin 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\tan^{3} 45^{\circ} .

=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+1^{3} .

=1+1 .

=2 .


Oke itulah pembahasan lengkap mengenai sudut istimewa dan pembuktiannya, jika ada yang ingin ditanyakan silahkan tinggalkan di kolom komentar yaa. Jika artikel ini bermanfaat silahkan share kesemua media sosial Kamu, sampai jumpa di artikel berikutnya.

Tags: , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

8 × 1 =

error: Jangan di Copy yaaa!!! :)