Trigonometri Pada Luas Segitiga

Posted on
5/5 (1)

Edumatik.Net – Mencari luas segitiga dengan perbandingan trigonomeri atau bisa disebut dengan mencari luas segitiga dengan sinus merupakan suatu kegiatan untuk mencari luas segitiga sembarang jika tingginya tidak diketahui. Rumus ini dapat digunakan jika dua sisi dan satu sudut yang diapitnya diketahui. Ada tiga persamaan untuk mencari luas segitiga dengan mennggunakan sinus, diataranyanya:

Setiap rumus tidak serta merta ada, Kita harus mengetahui asal-usul rumus luas segitiga menggunakan sinus ini dari mana. Nah untuk pembuktiannya simaklah pembahasan dibawah ini!

Lihat Segitiga \(BCE\)
\(\sin C = \frac {BE}{BC}\)
\(\sin C = \frac {BE}{a}\)
\(a \sin C = BE\) . . . (1)
Lihat Segitiga \(ACD\)
\(\sin A = \frac {CD}{AC}\)
\(\sin A = \frac {CD}{b}\)
\(b \sin A = CD\) . . . (2)
Lihat Segitiga \(BCD\)
\(\sin B = \frac {CD}{BC}\)
\(\sin B = \frac {CD}{a}\)
\(a \sin B = CD\) . . . (3)

Seperti yang Kita tahu bahwa rumus luas segitiga adalah \(L = \frac {1}{2} \times alas \times tinggi\)

\(L = \frac {1}{2} \times alas \times tinggi\)
\(L = \frac {1}{2} (AC) (BE)\)
\(L = \frac {1}{2} ba \sin C\)
\(L = \frac {1}{2} ab \sin C\) <terbukti>
\(L = \frac {1}{2} \times alas \times tinggi\)
\(L = \frac {1}{2} (AB) (CD)\)
\(L = \frac {1}{2} ca \sin B\)
\(L = \frac {1}{2} ac \sin B\) <terbukti>
\(L = \frac {1}{2} \times alas \times tinggi\)
\(L = \frac {1}{2} (AB) (CD)\)
\(L = \frac {1}{2} cb \sin A\)
\(L = \frac {1}{2} bc \sin A\) <terbukti>


Contoh:

Nomor 1
Diketahui segitiga \(ABC\) dengan \(\angle B = 60^{\circ}\), panjang sisi \(AB = 12\) cm, dan panjang sisi \(BC = 15\) cm. Berapakah luas segitiga tersebut!

Jawab:
Diketahui \(AB=c=12, BC=a=15, \angle B = 60^{\circ}\)

\(L = \frac {1}{2} ac \sin B\)
\(L = \frac {1}{2} \times 15 \times 12 \sin 60^{\circ}\)
\(L = 90 \times \frac {1}{2} \sqrt{3}\)
\(L = 45 \sqrt{3}\) \(cm^{2}\)


Nomor 2
Diketahui segitiga \(PQR\) dengan \(p = 6, q = 4\), dan \(\angle R = 120^{\circ}\). Tentukanlah luas segitiga tersebut!

Jawab:
Diketahui \(p = 6\) \(cm\), \(q = 4\) \(cm\), \(\angle R = 120^{\circ}\)

\(L = \frac {1}{2} pq \sin R\)
\(L = \frac {1}{2} \times 6 \times 4 \times \sin 120^{\circ}\)
\(L = 12 \times \frac {1}{2} \sqrt{3}\)
\(L = 6 \sqrt{3}\) \(cm^{2}\)


Nomor 3
Sebuah segitiga \(XYZ\) luasnya adalah \(6\) \(cm^{2}\). Jika panjang \(YZ = 4\) \(cm\) dan panjang \(XZ = 3\) \(cm\), tentukanlah besar \(\angle Z\)!

Jawab:
Diketahui \(x = 4\) \(cm\), \(y = 3\) \(cm\), \(L = 6\) \(cm^{2}\)

\(L = \frac {1}{2} xy \sin Z\)
\(6 = \frac {1}{2} \times 4 \times 3 \times \sin Z\)
\(6 = 6 \sin Z\)
\(\frac {6}{6} = \sin Z\)
\(\sin Z = 1\)
\(\sin Z = \sin 90^{\circ}\)
Jadi \(Z = 90^{\circ}\)


Nomor 4
Tentukan luas segitiga sama sisi dengan panjang sisinya adalah \(4 \sqrt{3}\) cm!

Jawab:
Semua sisi segitiga sama sisi panjangnya sama yaitu \(4 \sqrt{3}\) \(cm\), dan besar sudutnyapun sama besar yaitu \(60^{\circ}\).

\(L = \frac {1}{2} ab \sin C\)
\(L = \frac {1}{2} \times 4 \sqrt{3} \times 4 \sqrt{3} \times \sin 60^{\circ}\)
\(L = 24 \times \frac {1}{2} \sqrt{3}\)
\(L = 12 \sqrt{3}\) \(cm^{2}\)


Nomor 5
Segitiga \(ABC\) dengann luas \(35\) \(cm^{2}\), \(c = 10\) \(cm\), \(a = 14\) \(cm\). Jika \(B\) sudut lancip, tentukanlah \(\cos (-B)\)!

Jawab:
Diketahui \(a = 14\) \(cm\), \(c = 10\) \(cm\), \(L = 35\) \(cm^{2}\)

\(L = \frac {1}{2} ac \sin B\)
\(35 = \frac {1}{2} \times 14 \times 10 \times \sin B\)
\(35 = 70 \times \sin B\)
\(\frac {35}{70} = \sin B\)
\(\frac {1}{2} = \sin B\)
\(\sin B = \frac {1}{2}\)
\(\sin B = \sin 30^{\circ}\)
Sehingga \(B = 30^{\circ}\)
\(\cos (-B) = \cos (-B)\)
\(\cos (-B) = \cos B\) <ingat sudut berelasi>
\(\cos (-B) = \cos 30^{\circ}\)
\(\cos (-B) = \frac {1}{2} \sqrt{3}\)

Nah itulah pembahasan lengkap materi luas segitiga trigonometri, jika tulisan ini bermanfaat silahkan share kesemua media sosial Kamu, dan jangan lupa untuk memberikan penilaian pada artikel ini. See you!!!

Beri nilai tulisan ini!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

+ 82 = 90