Ukuran Sudut: Derajat, Radian, Putaran

Posted on
5/5 (3)

Edumatik.Net – Pada artikel ini akan dibahas secara mendalam mengenai hubungan derajat, radian, dan putaran serta ukuran sudut lainnya. Oleh sebab itu persiapkan diri Kamu terlebih dahulu. Kamu harus fokus tapi jangan tegang juga karena ini bukan ujian hehehe, bila perlu siapkan cemilan dan minumannya juga, ambil posisi duduk yang nyaman dan santai. Sudah siap? Oke Kita mulai belajarnya.

Pendahuluan Sudut

Sudut didefinisikan sebagai hasil rotasi (putaran) dari sisi awal (inital side) ke sisi akhir (terminal side). Setiap arah putaran dalam sudut memiliki makna. Suatu sudut bertanda “positif” jika arah putarannya berlawanan dengan arah jarum jam, dan bertanda “negatif” jika arah putarannya searah dengan arah jarum jam. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini.

  • Sudut baku (standar) adalah sudut sisi awal suatu garis berhimpit dengan sumbu X dan sisi terminalnya terletak pada salah satu kuadran pada koordinat kartesius.
  • Sudut pembatas kuadran adalah sudut sisi akhir berada pada salah satu sumbu koordinat kartesius, yaitu: \(0^{\circ },90^{\circ },180^{\circ },270^{\circ }\) dan \(360^{\circ }\)
  • Sudut biasanya disimbolkan dengan huruf Yunani, seperti α (alpha), β (betha), γ (gamma), dan θ (tetha). Selain simbol tersebut, digunakan juga huruf kapital seperti A, B, C, dan D.

Contoh:
Gambarkanlah sudut-sudut standar dibawah ini dan tentukan posisi setiap sudut pada koordinat kartesius!
a. \(70^{\circ }\),  b. \(-30^{\circ }\),  c. \(130^{\circ }\),  dan  d. \(500^{\circ }\)

Jawab:

Sisi awal terletak pada sumbu X, dan sisi akhir terletak pada kuadran I
Sisi awal terletak pada sumbu X, dan sisi akhir terletak pada kuadran IV
Sisi awal terletak pada sumbu X, dan sisi akhir terletak pada kuadran II
Sisi awal terletak pada sumbu X, dan sisi akhir terletak pada kuadran II

Bagi yang belum tau apa itu ukuran sudut, sekarang Kamu akan mengetahuinya. Ukuran sudut merupakan besaran yang digunakan dalam pengukuran sudut. Pada umumnya ada dua ukuran sudut yaitu derajat dan radian, yang masing-masing disimbolkan dengan “°” dan “rad”

Ukuran Sudut

Derajat

Kamu pasti tau bangun datar lingkaran kan? Pendeknya satu putaran penuh itu sama dengan 360°, atau bisa Kita tuliskan sebagai berikut:

Radian

Radian diartikan sebagai besar ukuran sudut pusat θ (dibaca: tetha) yang panjang busurnya sama dengan jari-jari.

\(\theta =\frac {PanjangBusurAB}{jari-jari}=\frac{r}{r}=1\) rad

atau dapat juga dituliskan

\(\theta =\frac {PanjangBusur}{r}\) rad

Hubungan Derajat Dengan Radian

Rumus keliling lingkaran adalah \(K=2\pi r\)

Jika 1 putaran penuh maka \(Panjang Busur=Keliling Lingkaran\), sehingga \(\theta =360^{\circ }\)

Berdasarkan rumus sebelumnya \(\theta =\frac {PanjangBusur}{r}\) rad

\(360^{\circ }=\frac {K}{r}\) rad

\(360^{\circ }=\frac {2\pi r}{r}\) rad

\(360^{\circ }=2\pi\) rad

\(\frac {360^{\circ }}{2}=\pi\) rad

\(180^{\circ }=\pi\) rad

Jadi hubungan derajat dengan radian rumusnya sebagai berikut:

Hubungan Derajat, Radian, dan Putaran

Oke, dari uraian diatas Kita akan membuat formula yang sangat penting. Formula ini akan Kita pakai untuk menyelesaikan soal-soal terkait ukuran sudut. Jadi pahami dulu uraian diatas setelah itu perhatikan penjelasan dibawah ini.

Misalkan derajat Kita simbolkan dengan D, radian dengan R, dan banyak putaran dengan P.

1 put \(=360^{\circ }\)

2 put \(\rightarrow 2\times 360^{\circ }=720^{\circ }\)

3 put \(\rightarrow 3\times 360^{\circ }=1080^{\circ }\)

4 put \(\rightarrow 4\times 360^{\circ }=1440^{\circ }\)

P put \(\rightarrow P\times 360^{\circ }=D\)

Jadi dapat Kita simpulkan bahwa rumus hubungan derajat dengan putaran adalah seperti dibawah ini.

Rumus itulah yang akan sering Kita gunakan untuk kedepannya, jadi tolong ingat baik-baik yaa! Siap?

Oke Kita lanjutkan dulu mencari rumusnya…

Dari rumus sebelumnya \(1^{\circ}=\frac {\pi}{180}\) rad

\(2^{\circ} \rightarrow 2\times \frac {\pi}{180} = \frac {2\pi}{180}\) rad

\(3^{\circ} \rightarrow 3\times \frac {\pi}{180} = \frac {3\pi}{180}\) rad

\(4^{\circ} \rightarrow 4\times \frac {\pi}{180} = \frac {4\pi}{180}\) rad

\(D^{\circ} \rightarrow D\times \frac {\pi}{180} = R\)

Dari sini Kita dapat menyumpulkan bahwa:

atau

Nah, sekarang persiapan tempur sudah selesai. Kita akan mencoba untuk memecahkan masalah yang berhubungan dengan ukuran sudut.

Contoh:

1. Tentukanlah besaran radian dan banyak putaran jika diketahui besar sudutnya \(45^{\circ }\)

2. Tentukanlah besarnya derajat dan banyak putaran jika diketahui besar radiannya \(\frac {2}{3}\pi\) rad

3. Tentukanlah besarnya derajat dan radian jika diketahui banyak putaranya \(\frac {2}{3}\) putaran!

4. Berapa derajat sudut yang dibentuk oleh jarum jam pada pukul 13:00?

5. Tentukan besaran derajat, radian, dan putaran jika diketahui sudut yang terbentuk oleh jarum jam pukul 04:00 !

Jawab:

1. Diketahui \(D=45^{\circ}\)

Cari Radian

\(\frac {R}{D}=\frac {\pi }{180^{\circ }}\)

\(R=\frac {\pi }{180}\times D\)

\(R=\frac {\pi }{180^{\circ }}\times 45^{\circ }\)

\(R=\frac {1}{4}\pi\) rad

Cari Putaran

\(D=P\times 360^{\circ} \)

\(P=\frac {D}{360^{\circ }}\)

\(P=\frac {45^{\circ }}{360^{\circ }}\)

\(P=\frac {1}{8}\) put

Jadi \(45^{\circ}=\frac {1}{4}\pi\) rad \(= \frac {1}{8}\) putaran

2. Diketahui \(R=\frac {2}{3}\pi\) rad

Mencari Derajat

\(\frac {R}{D}=\frac {\pi }{180^{\circ}}\)

\(D=\frac {R\times 180^{\circ}}{\pi }\)

\(D=\frac {\frac {2}{3}\pi \times 180^{\circ}}{\pi }\)

\(D=\frac {2}{3}\times 180^{\circ}\)

\(D=120^{\circ}\)

Mencari Putaran

\(\frac {R}{P\times 360^{\circ}}=\frac {\pi }{180^{\circ}}\)

\(P=\frac {R\times 180^{\circ}}{\pi \times 360^{\circ}}\)

\(P=\frac {\frac {2}{3}\pi \times 180^{\circ }}{\pi\times 360^{\circ}}\)

\(P=\frac {1}{3}\) putaran

Jadi \(\frac {2}{3}\pi\) rad \(= 120^{\circ}= \frac {1}{3}\) putaran

3. Diketahui \(P= \frac {2}{3}\) putaran

Mencari Derajat

\(D=P \times 360^{\circ}\)

\(D= \frac {2}{3} \times 360^{\circ}\)

\(D= 240^{\circ}\)

Mencari Radian

\(\frac {R}{P\times 360^{\circ}}=\frac {\pi }{180^{\circ}}\)

\(R=\frac {\pi \times P\times 360^{\circ }}{180^{\circ }}\)

\(R=\frac {\pi \times \frac {2}{3}\times 360^{\circ }}{180^{\circ}}\)

\(R=\pi \times \frac {2}{3}\times 2\)

\(R= \frac {4}{3} \pi\) rad

Jadi \(\frac {2}{3}\) putaran \(= 240^{\circ}\) \(= \frac {4}{3} \pi\) rad

4. Pukul 15:00 jarum panjang dan pendek membentuk sudut siku-siku yang besarnya \(90^{\circ}\)

Jika pukul 13:00 maka sudut yang dibentuk \(\frac {90^{\circ}}{3}=30^{\circ}\)

5. Dari soal no 4 sudah diketahui jarak antara dua bilangan besarnya \(30^{\circ}\) sehingga besar sudut ketika pukul 04:00 adalah \(4 \times 30^{\circ}=120^{\circ}\)

Cari Radian

\(\frac {R}{D}=\frac {\pi }{180^{\circ }}\)

\(\frac {R}{120^{\circ }}=\frac {\pi }{180^{\circ}}\)

\(R=\frac {\pi \times 120^{\circ}}{180^{\circ}}\)

\(R=\frac {2}{3}\pi\) rad

Cari Putaran

\(D=P\times 360^{\circ}\)

\(P=\frac {D}{360^{\circ}}\)

\(P=\frac {120^{\circ}}{360^{\circ}}\)

\(P=\frac {1}{3}\) putaran

Ukuran Sudut Lainnya

Selain derajat dan radian, ada juga satuan sudut lainnya yaitu menit (‘) dan detik (”). Perlu diketahui bahwa menit dan detik disini BERBEDA dengan waktu.

Singkatnya 1 derajat sama dengan 60 menit dan 1 menit sama dengan 60 detik, atau bisa Kita tuliskan sebgai berikut:

Contoh:

1. Ubahlah bentuk derajat berikut kedalam satuan menit dan detik!

a) \(30,4^{\circ}\)

b) \(32,33^{\circ}\)

Jawab:

a) \(30,4^{\circ}=30^{\circ}+0,4^{\circ}\) .

\(30,4^{\circ}=30^{\circ}+\left( 0,4 \times 60^{`}\right)\)

\(30,4^{\circ} =30^{\circ}+24^{`}\)

\(30,4^{\circ} =30^{\circ}24^{`}\)

b) \(32,33^{\circ}=32^{\circ}+0,33^{\circ}\)

\(32,33^{\circ}=32^{\circ}+\left(0,33 \times 60^{`}\right)\)

\(32,33^{\circ}=32^{\circ}+19,8^{`}\)

\(32,33^{\circ}=32^{\circ}+19^{`}+0,8^{`}\)

\(32,33^{\circ}=32^{\circ}+19^{`}+ \left(0,8 \times 60^{“}\right)\)

\(32,33^{\circ}=32^{\circ}+19^{`}+48^{“}\)

\(32,33^{\circ}=32^{\circ}19^{`}48^{“}\)

2. Ubahlah bentuk berikut kedalam bentuk derajat!

a) \(25^{\circ}30^{`}\)

b) \(43^{\circ}12^{`}32^{“}\)

Jawab:

a) \(25^{\circ}30^{`}=25^{\circ}+30^{`}\)

\(25^{\circ}30^{`}=25^{\circ}+ \left(30 \times \frac {1}{60^{\circ}}\right)\)

\(25^{\circ}30^{`}=25^{\circ}+0,5^{\circ}\)

\(25^{\circ}30^{`}=25,5^{\circ}\)

b) \(43^{\circ}12^{`}32^{“}=43^{\circ}+12^{`}+32^{“}\)

\(43^{\circ}12^{`}32^{“}=43^{\circ}+ \left(12 \times \frac {1}{60^{\circ}}\right)+\left(32 \times \frac {1}{3600^{\circ}}\right)\)

\(43^{\circ}12^{`}32^{“}=43^{\circ}+0,2^{\circ}+0,5333^{\circ}\) . . .

\(43^{\circ}12^{`}32^{“}=43,7333^{\circ}\) . . .

\(43^{\circ}12^{`}32^{“}=43,73^{\circ}\)

3. Hitunglah operasi berikut:

a) \(35^{\circ}15^{`}+72^{\circ}54^{`}\)

b) \(34^{\circ}25^{`}+65^{\circ}5^{`}49^{“}\)

c) \(32^{\circ}48^{`}-12^{\circ}32^{`}\)

d) \(47^{\circ}32^{`}-25^{\circ}16^{`}28^{“}\)

e) \(34^{\circ}23^{`}-30^{\circ}40^{`}21^{“}\)

Jawab:

a) \(35^{\circ}15^{`}+72^{\circ}54^{`}=107^{\circ}69^{`}\)

\(=107^{\circ}+60^{`}+9^{`} \)

\(=107^{\circ}+1^{\circ}+9^{`}\)

\(=108^{\circ}+9^{`}\)

\(=108^{\circ}9^{`}\)

b) \(34^{\circ}25^{`}+65^{\circ}5^{`}49^{“}=99^{\circ}30^{`}49{“}\)

c) \(32^{\circ}48^{`}-12^{\circ}32^{`}=20^{\circ}16^{`}\)

d) Perhatikan!

\(47^{\circ}32^{`}\)

\(\frac {25^{\circ}16^{`}28^{“}}{}\) \(-\)

Sama halnya seperti pengurangan biasa, jika yang atas tidak ada atau lebih kecil dari yang dibawah Kita sering menggunakan istilah “PINJAM” ke sebelahnya. Sehingga menjadi seperti berikut:

\(47^{\circ}31^{`}60^{“} \)

\(\frac {25^{\circ}16^{`}28^{“}}{}\) \(-\)

\(22^{\circ}15^{`}32^{“}\)

Jadi \(47^{\circ}32^{`}-25^{\circ}16^{`}28^{“} = 22^{\circ}15^{`}32^{“}\)

e) Sama halnya seperti poin (d)

\(34^{\circ}23^{`}\)

\(\frac {30^{\circ}40^{`}21^{“}}{}\) \(-\)

Setelah “meminjam”

\(33^{\circ}82^{`}60^{“}\)

\(\frac {30^{\circ}40^{`}21^{“}}{}\) \(-\)

\(3^{\circ}42^{`}39^{“}\)

Nah itulah pembahasan mengenai ukuran sudut, materi berikutnya yang akan dipelajari adalah definisi trigonometri. Jika artikel ini dirasa bermanfaat silahkan shere dan berikan penilaian yaa.

Beri nilai tulisan ini!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

5 + 3 =